神奇的循環.doc

PAGE PAGE 6土城國中98學年度校內科學展覽作品說明書作品名稱：神奇的循環科 別：數學科 班 級： 716關 鍵 詞：循環小數 分數 因數分解研究學生：林佑叡、莊秉翰指導老師：莊政儀編 號：98c0002標題:找出循環小數中奧妙的地方壹、摘要1.列表列出循環小數位數和分數如: 左側為循環數目 右側為小數中的分母數字 EX: 5位循環 EX: 271 (1)2. 神奇的0.142857循環3. 結果與討論[(1)271為]貳、研究動機一切的一切都是由1/98開始在一個偶然的機會中,按掌上型計算機1除以98,得到0.0102040816,發現每兩位一數,數字是01,02,04,08,16,推測後面接下來的數字應為32,64,128…,我懷疑這是否有存在有循環節,後來,我們拿到網路上的Flash軟體,可以計算到小數長度到小數點後999位,原來1/98的換算成小數是0.01020408163265306122448979591836734693877551020408163265,到了55以後就重複循環了經過計算,發現循環節長度為42位,從此我們便開始了研究..參、研究設備及器材電腦3台學生4位計算機紙,筆肆、研究過程 一些簡單的計算 1/3=0.33333333333(循環節長度 1位) 1/9=0.111111111111111111111(循環節長度 1位) 1/7=0.142857142857(循環節長度 6位)以分子為1，其他正整數數字為分母，換算分數為小數，整理結果如下表最短循環節長度 (1~20位數)小數中的分母數字13、9211327、374101541、27167、137239、4649873、137933366710271、909111513239、216491299011353、265371653149090911529061611617,5882353172071723 、53632223571819、52579191111111111111111111203541、9091,27961如何求出右側(分母的值呢)?我們稍做了研究,發現可以以9的數目來間接性的尋找它分數例如:1個9組成的數字91/9=0.1111 1位循環2個9組成的數字99,因數分解得99=11×9 1位循環2位循環,計算如下 1/11=0.090909090909(兩位循環)3個9組成的數字999,因數分解得999=27×37 3位循環 3位循環1/27=0.0370370371/37=0.0270270270274個9組成的數字9999，因數分解得 9999=101×11×9 4位循環 而1/9、1/11前面算過 1/101= 04位循環)5個9組成的數字99999，因數分解得 99999=9×41×271 5位循環 5位循環 1/41= 0.0243902439024390 1/271=而6個9組成的數字999999，因數分解得999999=13×7×27×37×11 6位循環 6位循環 以此類推,理論上我們要找出某數的倒數循環節長度為n,我們可以將n個9組成的數字(99…….99,共有n個9)因數分解,再用其中的質因數計算◎困難點:數字太大,且我們不知道是否為質數所以作罷,因此我們只算到96位循環數探討循環節長度與質數的關係質數質數倒數循環節長度循環節長度與質數的關係71/767-1=6131/13613-1=6×2171/171617-1=16191/191819-1=18小結:循環節長度為(質數-1)的因數我們在探討循環節長度為偶數時循環節長度分數化為小數的數6位1/70.1428576位1/1301/170.058823529411764718位1/190.052631578947368421以1/7為例,前半段數字142加後半段數字857為999小結:循環小節長度為 2n時,則前半段數字+後半段