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高二上数学练习题及答案 (34).pdf

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高二上数学练习题

1.已知函数f(x)=ax+lnx+1.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)对任意的x>0,不等f(x)≤e恒成立,求实数a的取值范围.x

1+1

解:(1)定义域为(0,+∞),′()=+=,

①若a≥0,则f(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,

1

(+)11

②若a<0,则′()=,f(x)在(0,−)递增,在(−,+∞)递减,

综上知①a≥0,f(x)在(0,+∞)递增,

②a<0,f(x)在(0,−11

)递增,(−,+∞)递减;

−−1

(2)不等ax+lnx+1≤e恒成立,等价于≤x在(0,+∞)恒成立,

−−1(−1)+

令()=,x>0,则′()=,

2

1

令h(x)=(x﹣1)ex+lnx,x>0,ℎ′()=+>0.

所以y=h(x)在(0,+∞)单调递增,

而h(1)=0,所以x∈(0,1)时,h(x)<0,即g(x)<0,y=g(x)单调递减;

x∈(1,+∞)时,h(x)>0,即g(x)>0,y=g(x)单调递增.

所以在x=1处y=g(x)取得最小值g(1)=e﹣1,所以a≤e﹣1,

即实数a的取值范围是{a|a≤e﹣1}.

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