高二上数学练习题及答案 (34).pdf
高二上数学练习题
1.已知函数f(x)=ax+lnx+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)对任意的x>0,不等f(x)≤e恒成立,求实数a的取值范围.x
1+1
解:(1)定义域为(0,+∞),′()=+=,
①若a≥0,则f(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,
1
(+)11
②若a<0,则′()=,f(x)在(0,−)递增,在(−,+∞)递减,
综上知①a≥0,f(x)在(0,+∞)递增,
②a<0,f(x)在(0,−11
)递增,(−,+∞)递减;
−−1
(2)不等ax+lnx+1≤e恒成立,等价于≤x在(0,+∞)恒成立,
−−1(−1)+
令()=,x>0,则′()=,
2
1
令h(x)=(x﹣1)ex+lnx,x>0,ℎ′()=+>0.
所以y=h(x)在(0,+∞)单调递增,
而h(1)=0,所以x∈(0,1)时,h(x)<0,即g(x)<0,y=g(x)单调递减;
x∈(1,+∞)时,h(x)>0,即g(x)>0,y=g(x)单调递增.
所以在x=1处y=g(x)取得最小值g(1)=e﹣1,所以a≤e﹣1,
即实数a的取值范围是{a|a≤e﹣1}.
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