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数学建模应用实践练习题集及答案解析

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1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。

2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。

一、线性规划与整数规划

1.线性规划问题求解

求解线性规划问题的标准形式

线性规划问题的图解法

线性规划问题的单纯形法求解

2.整数规划问题求解

整数规划问题的特点

整数规划问题的分支定界法

整数规划问题的割平面法

3.线性规划应用实例

某公司生产问题的线性规划模型

某工厂运输问题的线性规划模型

某城市交通网络优化问题的线性规划模型

4.整数规划应用实例

仓库选址问题的整数规划模型

航班排班问题的整数规划模型

生产设备配置问题的整数规划模型

5.线性规划与整数规划的敏感性分析

线性规划问题的最优解的敏感性分析

整数规划问题的最优解的敏感性分析

线性规划与整数规划参数的敏感性分析

6.线性规划与整数规划的优化算法

线性规划与整数规划的动态规划方法

线性规划与整数规划的启发式算法

线性规划与整数规划的遗传算法

7.线性规划与整数规划的实际应用

企业库存管理中的线性规划模型

供应链优化中的整数规划模型

项目投资决策中的线性规划与整数规划模型

答案及解题思路：

题目：某企业生产两种产品A和B，生产一个单位A需要2小时机器时间和1小时人工时间，生产一个单位B需要3小时机器时间和2小时人工时间。企业的机器时间每天可利用30小时，人工时间每天可利用50小时。生产一个单位A的利润为10元，生产一个单位B的利润为20元。现有以下线性规划模型：

\[\begin{align}

\text{Maximize}\quadZ=10x20y\\

\text{Subjectto}\quad2x3y\leq30\\

x2y\leq50\\

x,y\geq0,\text{且为整数}

\end{align}\]

答案：

\[x=10,\quady=5,\quadZ=10\times1020\times5=150\]

解题思路：

1.首先检查线性规划问题是否满足线性规划的约束条件。

2.应用分支定界法求解整数规划问题。

3.找到最优解为\(x=10,y=5\)，并计算最大利润\(Z=150\)。

二、非线性规划

1.非线性规划问题求解

题目1：给定函数\(f(x,y)=x^2y^24xy\)，求解使得\(f(x,y)\)最小的点\((x,y)\)。

解题思路：使用梯度下降法或牛顿法求解。

2.非线性规划应用实例

题目2：某公司生产两种产品，产品A和产品B。生产产品A的成本为每单位1元，生产产品B的成本为每单位2元。产品A的售价为每单位4元，产品B的售价为每单位8元。公司的目标是在不超过1000元的总成本内，最大化利润。

解题思路：建立目标函数和约束条件，使用非线性规划求解器求解。

3.非线性规划求解方法

题目3：已知函数\(f(x)=x^36x^29x\)，求函数的极值点。

解题思路：计算函数的一阶导数和二阶导数，求解导数为0的点，并判断这些点的极值性质。

4.非线性规划与线性规划的对比

题目4：比较线性规划和非线性规划在求解以下问题时的差异：

线性规划问题：最大化\(z=3x2y\)，约束条件为\(xy\leq4\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)。

非线性规划问题：最大化\(z=3x2y\)，约束条件为\(xy\leq4\)，\(x^2y^2\leq9\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)。

解题思路：分析两个问题的目标函数和约束条件的不同，讨论求解方法的适用性。

5.非线性规划在实际应用中的挑战

题目5：考虑非线性规划在工程优化问题中的应用，列举至少两个挑战。

解题思路：讨论非线性规划问题可能出现的局部最优解、计算复杂性以及约束条件的非线性带来的挑战。

6.非线性规划与整数规划的联合求解

题目6：结合非线性规划和整数规划，求解以下问题：

非线性部分：最大化\(z=x^22xyy^2