2025年高斯光束传输方程及其解法 .pdf

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

高斯光束传输方程及其解法

光学是研究光的物理现象和规律的科学，光在自然界中广泛存

在并起到重要作用，对于现代科技的发展也有着不可替代的作用。

高斯光束是一种常见的光束形式，其具有良好的传输性质和应用

前景，因此得到广泛应用。

一、高斯光束的定义和特性

高斯光束是指在自由空间中横向至少二次可微、纵向一次可微

的光束，其光强分布和相位分布都可用高斯函数表征。高斯光束

具有如下的重要特性：

1.具有良好的射程特性，能够在传输过程中保持约束的形态；

2.横向光强分布呈高斯分布，纵向呈指数分布，能够满足许多

光学应用中对于光束形态和光强的要求；

3.光束通过透镜进行聚焦后，仍然是高斯光束，具有良好的自

聚焦能力；

天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》

4.具有相干性，能够满足干涉、衍射等光学现象的要求。

二、高斯光束传输方程的推导

在光学应用中，高斯光束的传输是一个重要的问题，需要准确

描述其传输过程。高斯光束传输方程可以描述高斯光束在自由空

间中传输的过程，其推导如下：

设高斯光束的累计相位为φ(x,y,z)，其横向强度分布为I(x,y)，

则光强的分布可以表示为：I(x,y,z)=|A(x,y,z)|^2

其中，A(x,y,z)是高斯光束的复振幅，其表示为：

A(x,y,z)=u(x,y,z)exp(jφ(x,y,z))

其中u(x,y,z)表示高斯光束的复场，根据标量波动方程可以得到：

△u+k^2u=0

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

其中k=2π/λ为波数，λ为波长。将复场u分解为实部和虚部，

可得到：u=u1+ju2

则标量波动方程可以分解为实部和虚部的两个方程：

△u1+k^2u1=-△u2-k^2u2

△u2+k^2u2=△u1-k^2u1

再利用高斯光束的对称性和横向可微性，可以得到：

▽^2u1+k^2u1=0

▽^2u2+k^2u2=0

则高斯光束的传输方程可以写为：

∂A(x,y,z)/∂z+iβ(x,y,z)A(x,y,z)=0

其中β(x,y,z)为传输因子，可以表示为：

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

β(x,y,z)=k/2n[∂^2φ(x,y,z)/∂x^2+∂^2φ(x,y,z)/∂y^2]

则高斯光束的累计相位和传输因子分别代表了光束的位相和弯

曲程度，通过方程可以描述光束在自由空间中传输时的演化形态。

三、高斯光束传输方程的解法

高斯光束传输方程可以采用数值和解析两种方法进行求解。

1.数值解法

常用的数值解法是有限差分法，可以通过建立网格，对高斯光

束的传输方程进行离散，然后进行数值求解。该方法的优点是适

用范围广，能够处理各种复杂的情况，但是计算量大，计算速度

慢。

2.解析解法

博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

解析解法是通过对高斯光束传输方程进行数学求解，得到解析

解的方法，常用的方法包括矩阵法、傅里叶变换法和变分法等。

该方法的优点是计算速度快，结果准确性高，但是适用范围有限，

不能处理复杂的情况。

四、高斯光束传