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关于椭圆三个定义教学的一点思考

?摘要：本文主要探讨椭圆三个定义的教学。阐述了椭圆定义教学的重要性，分析了椭圆第一定义、第二定义和第三定义的内涵、推导过程及在教学中应注意的问题。通过对不同定义教学的深入思考，旨在帮助学生更好地理解椭圆的本质特征，掌握相关知识并能灵活运用，同时培养学生的数学思维和探究能力。

一、引言

椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，在数学学科以及实际生活中都有着广泛的应用。椭圆的定义是研究椭圆性质和应用的基础，理解椭圆的三个定义对于学生建立完整的椭圆知识体系至关重要。在教学过程中，如何引导学生准确理解椭圆的定义，掌握定义的推导方法，运用定义解决相关问题，是数学教师需要深入思考和探索的课题。

二、椭圆定义教学的重要性

1.构建知识体系

椭圆的定义是椭圆知识的基石，通过学习椭圆的定义，学生能够进一步理解椭圆的标准方程、几何性质等内容，从而构建起完整的椭圆知识体系。例如，从椭圆的定义出发，可以推导出椭圆的标准方程，进而研究椭圆的对称性、顶点、离心率等性质。

2.培养数学思维

椭圆定义的教学过程涉及到观察、分析、归纳、类比等数学思维方法。在推导椭圆定义的过程中，学生需要观察图形的特征，分析动点满足的条件，归纳出椭圆的定义，同时还可以与圆的定义进行类比，加深对定义的理解。这种数学思维的培养对于学生学习其他数学知识以及解决实际问题都具有重要意义。

3.实际应用

椭圆在天文学、物理学、建筑学等领域有着广泛的应用。例如，行星绕太阳运行的轨道是椭圆，在设计一些建筑结构时也会用到椭圆的性质。掌握椭圆的定义是理解这些实际应用的前提，能够帮助学生更好地将数学知识与实际生活联系起来，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三、椭圆第一定义的教学

1.定义内涵

平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2.推导过程

-实验演示：

准备一条绳子，两个图钉。将绳子的两端固定在两个图钉上，然后用铅笔拉紧绳子，使笔尖在纸上移动。让学生观察笔尖画出的图形，引导学生思考笔尖运动过程中到两个固定点的距离之和有什么特点。通过实际操作，学生能够直观地感受到动点到两个定点距离之和为定值，从而初步认识椭圆的形成过程。

-理论推导：

设两个定点\(F_1,F_2\)，\(|F_1F_2|=2c\)，动点\(P\)满足\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)（\(2a2c\)）。以过\(F_1,F_2\)的直线为\(x\)轴，线段\(F_1F_2\)的垂直平分线为\(y\)轴，建立平面直角坐标系。

设\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，\(P(x,y)\)，则\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\)。

移项得\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)。

两边平方得\((x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\)。

展开并化简得\(a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx\)。

两边再平方得\(a^2[(x-c)^2+y^2]=(a^2-cx)^2\)。

进一步展开化简可得\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)。

令\(b^2=a^2-c^2\)，则椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(ab0\)）。

3.教学注意事项

-强调定义中的条件：

在讲解椭圆第一定义时，要特别强调平面内两个定点距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）这几个关键条件。通过举例让学生判断一些动点的轨迹是否为椭圆，如到两定点距离之和等于两定点间距离的动点轨迹不是椭圆，加深学生对定义的理解。

-与生活实例结合：

可以引入一些生活中的椭圆实例，如椭圆形的操场跑道、卫星运行轨道等，让学生分析其中哪些点满足椭圆的第一定义，进一步体会椭圆定义在实际生活中的体现，提高学生学习的兴趣。

-引导学生思考：

在推导椭圆标准方程的过程中，要引导学生思考每一步变形的依据和目的，培养学生的逻辑推理能力。例如，在平方化简的过程中，让学生思考为什么要