重庆大学数学实验第三次.doc

开课学院、实验室： 实验时间 ： 年 月 日 课程 名称 实验项目 名 称 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导 教师 成 绩 实验目的 [1] 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法； [2] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [3] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； [4] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； (组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。 微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法； 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)； 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。 基础实验 1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y’= y + 2x, y(0) = 1, 0x1; y’’+ycos(x) = 0, y(0)=1, y’(0)=0; 1通解 y=dsolve(Dy=y+2*x ,x) y = -2*x-2+exp(x)*C1 特解 y1=dsolve(Dy=y+2*x,y(0)=1,x) y1 = -2*x-2+3*exp(x) 作图y =3*exp(x)-2*x–2 x=0:0.02:1; y1=3*exp(x)-2*x-2; plot(x,y1,b-) 2算法设计 通解y=dsolve(D2y+y*cos(x)=0) y = C19*exp(t*(-cos(x))^(1/2)) + C20/exp(t*(-cos(x))^(1/2)) 特解 y=dsolve(D2y+y*cos(x)=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x) 结果 y = [ empty sym ] 分析此微分方程没有解析解. 该方程数值解的求解过程 设y1=y,y2=y’ 则可得y1’=y2y2’+y1cos(x)=0 首先建立M-文件 function f=fun(x,y) f=[y(2);-y(1)*cos(x)]; 输入命令 [x,y]=ode23(fun,[0,1],[1,0]) 结果 x = 0 0.0001 0.0005 0.0025 0.0125 0.0625 0.1541 0.2541 0.3541 0.4541 0.5541 0.6541 0.7541 0.8541 0.9541 1.0000 y = 1.0000 0 1.0000 -0.0001 1.0000 -0.0005 1.0000 -0.0025 0.9999 -0.0125 0.9980 -0.0624 0.9882 -0.1529 0.9680 -0.2487 0.9386 -0.3397 0.9003 -0.4243 0.8540 -0.5011 0.8004 -0.5693 0.7404 -0.6280 0.6751 -0.6772 0.6053 -0.7168 0.5721 -0.7319 作图： y1=y(:,1); y2=y(:,2); plot(x,y1,b*,x,y2,r),gtext(y1),gtext(y2) 用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0≤x≤1,h = 0.1) 的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？ 3．Rossler微分方程组： b=2, c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ 4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制 一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的