实变函数第一章习题解答.doc

第一章习题参考解答 PAGE PAGE 14 第一章习题参考解答 3．等式成立的的充要条件是什么？ 解： 若，则 . 即，. 反过来, 假设, 因为. 所以, . 故, . 最后证， 事实上，, 则且。若，则；若，则，故. 从而, . . 即 . 反过来，若，则 因为所以 又因为，所以故 另一方面，且，如果则 ；如果因为，所以故. 则 . 从而 于是， 4．对于集合A，定义A的特征函数为， 假设是一集列 ，证明： （i） （ii） 证明：（i），，时，. 所以，所以故 ，有 有，故 ，即=0 ，从而 5．设为集列，， 证明 （i）互相正交 （ii） 证明：（i）；不妨设nm，因为，又因为，所以，故 ，从而 相互正交. （ii）因为，有，所以，现在来证： 当n=1时，； 当时，有： 则 事实上，，则使得，令 则 ，其中，当时，，从而， 6．设是定义于E上的实函数，a为常数，证明： （i）= (ii)= 证明：（i）且 反过来，，使 即 故 所以 故 7．设是E上的实函数列，具有极限，证明对任意常数a都有： 证明：，即，且 因为，使，有，故 所以 = ，由k的任意性： ，反过来，对于，，有 = ，即时，有：且，所以，且.，故 从而 故 = 8． 设是区间（a，b）上的单调递增的序列，即 若有极限函数，证明：， 证明： ，即：且，因为 所以，恒有：，从而， 反过来，，使，故，因此， 且,即，， 从而， 10．证明：中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 设Q为有理数集，由定理6：Q是不可数的。 现在证：可数，因为 是可数个有理数集的并，故可数， 又因为并且，所以可数 故可数 14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数 证明： 设Q为可数集，不妨记为： ,令则 为有限集（），则 为正交可数集，即 又因为，所以 ，故 A是Q上一切有限子集的全体。 15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明： 证明： 因为{}两两不相交，所以，，故 另一方面，若，我们取 则，使得.特别的，当 时，，当时：（ 从而， 这与矛盾，故 从而 16．若集A中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即A=，而每个指标 在一个势为C的集中变化，则集A的势为C。 证明：设在势为C的集合中变化，即A= 因 是既单又满的映射， 定义 , 故得既单又满的映射,从而， 从而 17．设的势是C，证明至少有一个的势也是C。 证明：因为，所以 如果，则，即，正交可数，从而，正交可数. 这与矛盾. 故，,使. 18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势 证明：设，则 记[0，1]上全体是函数所构成的集合为 对于，定义函数 ,即是集合A的特征函数。 另一方面，，定义 则 ，，则 ，所以 ，从而， 20．证明：中孤立点集市有限或可数集 证明：中，是的一些孤立点所构成的集合 由定义，，使得.现在令 ， 则中任意二领域是不相交的 事实上，若，有 取，并且不失一般性设：，则 .故 ，这推出，这与矛盾. ，取一个有限点，则，当，,所以，故 .E正交可数. 19．设称为E的内点集，证明：是开集。 证明：，因为x为E的内点，使得：，现在证： 事实上，，取 则，故，从而，，即中每个点都是得内点 因此，为开集 21．假设是[a,b]上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。 证明：[a,b]中右极限存在的间断点是至多可数的. 令有限}，， 作：,时，使得 则：（1）上连续点的集合 事实上，，取 因，故有 即，在点连续。 （2），因有限，故使得 ，，故，有，从而，.现在证： 是两两不相交的开区间集 不妨设 ，如果 ，取 则 即，，这与矛盾，故A两两不相交，从而可数 故至多可数。 即，中第一类间断点至多可数。 20．证明中孤立点集是至多可数集 证明：设F是点集E中一些孤立点所构成的集合 ，有 现在先证：是两两不相交的 事实上，，如果，则 （不妨设），故 ,这与矛盾. 所以，是两两不相交的. ,取有理点，故，从而， 22．证明：中直线上每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并. 证明：设F是中的一个闭集，先证：，=|是R中的开集，其中 ，则，取，故 事实上，，所以是开集 现在证：、 事实上，，，所以. 反过来，，有.故. ,即.，使.所以.故，，这与矛盾.所以，从而. 再来证：每个开集必是可数个闭集的并. 事实上，若是开集，则是闭集.所以存在可数个开集，使得 ，所以.即是可数个闭区间集 的并. 23.假设是一列开区间，如果，证明是一个开区间 证明：，记， ，其中，因为，所以可取 现在我们证： 因为，，故 反过来，，即，当时，因为，所以，有.所以. 如果， ，使，故，从而 24.设，是