专题12 圆锥曲线的中点弦问题 -高中数学经典二级结论解读与应用训练（原卷版）.pdf

结论十二：圆锥曲线的中点弦问题

1.在椭圆E:+1(ab0)中:

(1)如图①所示,若直线ykx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线

l,l,有l∥l,设其斜率为k,则k·k-.

00

(2)如图②所示,若直线ykx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线

PA,PB的斜率存在,且分别为k,k,则k·k-.

1212

结

(3)如图③所示,若直线ykx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,

设直线PO的斜率为k,则k·k-.

00

论

2.在双曲线E:-1(a0,b0)中,类比上述结论有:

(1)k·k.(2)k·k.(3)k·k.

0120

这些结论中的第（1）（3）个可以利用“点差法”来完成：①设出弦的两端点的坐标；②

解

代入圆锥曲线方程；③两式相减，在用平方差公式展开；④整理、转化为弦所在直线的

读

斜率与弦中点和原点连线的斜率的关系，然后求解．

221

已知双曲线xy，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为

1a0,b0lMNOP

典222

ab

MN的中点，若OP的斜率为，则双曲线的离心率为（）

2

例

A．2B．5C．23D．4

解

析

b2

本题先设点Mx,y、Nx,y，利用点差法求得，进而可得出双曲线的离心率为

112221

a

2

cb



e1，即可得解.主要考查了