自动控制 第七章第三四讲学习资料 .ppt

7-4离散系统的数学模型1

为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。与

连续系统类似，线性离散系统的数学模型有：差分方程（时

域）、脉冲传递函数（Ｚ域）和离散状态空间三种。

本节只介绍差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本概念和开

环、闭环传递函数的建立。

7-4离散系统的数学模型1

一、离散系统的数学定义

将输入序列r(n),n=0,±1,±2,…，变换为输出序列c(n)的一

种变换关系，称为离散系统。记为

c(n)=F[r(n)]

如果变换关系F是线性的，即满足叠加原理，则称线性离散系

统，否则为非线性离散系统。

如果非线性离散系统输入与输出关系不随时间而改变，则称为

线性定常离散系统。这样的系统可用线性定常差分方程描述。

7-4离散系统的数学模型2

二、线性定常差分方程及其解法

线性定常离散系统k时刻的输出c(k)，不仅与k时刻及k时刻以

前的输入r(k)、r(k-1)、r(k-2)…有关，同时还与k时刻以前的输

出c(k-1)、c(k-2)…有关。

这种关系一般可以用n阶后向差分方程来描述：

c(k)+a1c(k-1)+a2c(k-2)+…＋an-1c(k-n+1)+anc(k-n)

=b0r(k)+b1r(k-1)+b2r(k-1)+…＋bm-1r(k-m+1)+bmr(k-m)

nm

式中，nm

c(k)aic(ki)bjr(kj)

i1j0

7-4离散系统的数学模型3

线性定常离散系统也可以用n阶前向差分方程来描述：

c(k+n)+a1c(k+n-1)+…+an-1c(k+1)+anc(k)

=b0r(k+m)+b1r(k+m-1)+…+bm-1r(k+1)+bmr(k)

nm

c(kn)aic(kni)bjr(kmj)

i1j0

7-4离散系统的数学模型4

求解线性定常差分方程的方法有经典法、迭代法和z变换法。

与微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法也要求出齐次方

程的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍后两种

解法。

1、迭代法：由差分方程、输出初始值，用递推关系，一步一步算

出序列脉冲输出。

7-4离散系统的数学模型5

例7-14：已知c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，输入序列：r(k)＝1

初始条件：c(0)＝0；c(1)＝1。求k=0，1，2…的输出脉冲序列c(k)

解：已知：k=0时c(0)=0；k=1时c(1)=1，当取k=2,3,4…时得，

c(2)=r(2)+5c(2-1)-6c(2-2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6

c(3)=r(3)+5c(3-1)-6c(3-2)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+5＊6-6＊1=25

c(4)=r(4)+5c(4-1)-6c(4-2)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+5＊25-6＊6=90

…………

对于任一时刻的输出值，都可以用这种方法推出。

7-4离散系统的数学模型6

2、z变换法：

利用z变换实数位移定理，对差分方程两端取z变换，得到以z

为变量的代数方程，对代数方程的解C(z)取z反变换，求得c(k)。

回顾z变换的实数位移定理：

Ze(tkT)zkE(z)

k1

kn

Ze(tkT)zE(z)e(nT)z

n0

7-4离散系统的数学模型7

例7-15：用z变换法求解下式的二阶差分方程

c*(t+2T)+3c*(t+T)+2c*(t)=0；初始条件：c(0)=0,c(1)=1(T=1)

解：对差分方程两边进行Z变换

k1