武汉大学1992-2013年数学专业考研试题.pdf
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武大汉学 1992 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目:数学分析
一、给定数列? ?nx 如下:
0 1 1
10, ( 1) , 0,1, 2,n n k
n
ax x k x n
k x? ?
? ?
? ? ? ? ?? ?
? ?
?
( )i 证明数列? ?nx 收敛;
( )ii 求出其极限的值.
二、设函数 ( )f x 定义在区间 I 上,试对“函数 ( )f x 在 I 上不一致连续”的含义作一
肯定语气的(即不用否定词)叙述,并且证明:函数 ( ) lng x x x? 在区间 ? ?0,?? 上
不一致连续.
三、设函数 ( )f x 在区间? ?0, a 上严格递增且连续, (0) 0f ? , ( )g x 为 ( )f x 的反函数,
试证明成立等式:
( )
0 0
( ) [ ( )]
a f a
f x dx a g x dx? ?? ? .
四、给定级数
0
.
1
n
n
x
n
??
? ?
?
( )i 求它的和函数 ( )S x ;
( )ii 证明广义积分
1
0
( )S x dx? 收敛,并写出它的值.
五、对于函数
2
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
x y x y
x yf x y
x y
?
? ?? ?? ?
? ? ??
,证明:
( )i ( , )f x y 处处对 x ,对 y 可导;
( )ii 偏导数 ( , ), ( , )x yf x y f x y? ? 有界;
( )iii ( , )f x y 在点 (0,0)不可微;
( )iv 一阶偏导数 ( , ), ( , )x yf x y f x y? ? 中至少有一个在点 (0,0)不连续.
六、计算下列积分:
( )i
1
0 ln
b ax x dx
x
?
? ,其中 ,a b为常数,0 a b? ? ;
( )ii
2y
D
e dxdy??? ,其中D为平面上由直线 y x? 及曲线
1
3y x? 围成的有界闭区域.
武汉大学 1992 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目:线性代数(000)
注意:所有答题内容必须写在答题纸上,凡写在试题或草稿纸上的一律无效。
一、设M 是所有 n 阶实对称矩阵的集合,问分别按 ( )i 等价关系;( )ii 合同关系;( )iii
相似关系; ( )iv 正交相似关系来分类,有多少个等价类,并写出第一个等价类的标
准形矩阵.
二、设
0 0 1
0
0
1 0 0
A
? ?
? ?
? ??
? ?
? ?
? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
为 n 阶方阵,
( )i 求 A的特征值;
( )ii 若 4n ? ,求正交矩阵P ,使 1P AP? 为对角阵.
三、 A为 n 阶方阵, A的秩 ( )r A r n? ? ,证明下列条件等价:
( )i 2( ) ( )r A r A? ;
( )ii 存在可逆矩阵P ,使 1
0
0 0
D
A P P? ? ?? ? ?
? ?
,其中 D是 r 阶可逆矩阵;
( )iii 存在可逆矩阵T ,使 2A A T? .
四、 ,A B是正定矩阵,证明: A B A B? ? ? .
五、若 S 是 n 阶实反对称矩阵,证明:
( )i S 的特征值只能是0 或存虚数;
( )ii E S? 是可逆矩阵,其中E 是n 阶单位阵;
( )iii ? ?? ? 1T E S E S ?? ? ? 是正交矩阵.
六、若 ,f g 是向量空间V 的线性变换,且 2f f? ,证明:
( )i f 的特征值只能是1或0 ;
( )ii 若 1 0,V V 分别表示特征值1, 0 的特征子空间,则 1 Im( )V f? ( f 的值域),
0 ( )V Ker f? ( f 的核);
( )iii 存在一组基,使 f 在此基下的矩阵为对角矩阵.
武大汉学 1994 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目:数学分析
一、设? ?nx 是正无穷大数列(即对于任意正数M ,存在自然数 N ,当 n N? 时,有
nx M? .),E 为? ?nx 的一切项组成的数集.试证必存在自然数P ,使得 inf .px E?
二、设函数 ( )f x 在点 0x 的某空心邻域
0U 内有定义,对于任意以 0x 为极限且含于
0U
的数列? ?nx ,极限 lim
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