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武汉大学1992-2013年数学专业考研试题.pdf

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武大汉学 1992 年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目:数学分析 一、给定数列? ?nx 如下: 0 1 1 10, ( 1) , 0,1, 2,n n k n ax x k x n k x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ( )i 证明数列? ?nx 收敛; ( )ii 求出其极限的值. 二、设函数 ( )f x 定义在区间 I 上,试对“函数 ( )f x 在 I 上不一致连续”的含义作一 肯定语气的(即不用否定词)叙述,并且证明:函数 ( ) lng x x x? 在区间 ? ?0,?? 上 不一致连续. 三、设函数 ( )f x 在区间? ?0, a 上严格递增且连续, (0) 0f ? , ( )g x 为 ( )f x 的反函数, 试证明成立等式: ( ) 0 0 ( ) [ ( )] a f a f x dx a g x dx? ?? ? . 四、给定级数 0 . 1 n n x n ?? ? ? ? ( )i 求它的和函数 ( )S x ; ( )ii 证明广义积分 1 0 ( )S x dx? 收敛,并写出它的值. 五、对于函数 2 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 x y x y x yf x y x y ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ,证明: ( )i ( , )f x y 处处对 x ,对 y 可导; ( )ii 偏导数 ( , ), ( , )x yf x y f x y? ? 有界; ( )iii ( , )f x y 在点 (0,0)不可微; ( )iv 一阶偏导数 ( , ), ( , )x yf x y f x y? ? 中至少有一个在点 (0,0)不连续. 六、计算下列积分: ( )i 1 0 ln b ax x dx x ? ? ,其中 ,a b为常数,0 a b? ? ; ( )ii 2y D e dxdy??? ,其中D为平面上由直线 y x? 及曲线 1 3y x? 围成的有界闭区域. 武汉大学 1992 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目:线性代数(000) 注意:所有答题内容必须写在答题纸上,凡写在试题或草稿纸上的一律无效。 一、设M 是所有 n 阶实对称矩阵的集合,问分别按 ( )i 等价关系;( )ii 合同关系;( )iii 相似关系; ( )iv 正交相似关系来分类,有多少个等价类,并写出第一个等价类的标 准形矩阵. 二、设 0 0 1 0 0 1 0 0 A ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为 n 阶方阵, ( )i 求 A的特征值; ( )ii 若 4n ? ,求正交矩阵P ,使 1P AP? 为对角阵. 三、 A为 n 阶方阵, A的秩 ( )r A r n? ? ,证明下列条件等价: ( )i 2( ) ( )r A r A? ; ( )ii 存在可逆矩阵P ,使 1 0 0 0 D A P P? ? ?? ? ? ? ? ,其中 D是 r 阶可逆矩阵; ( )iii 存在可逆矩阵T ,使 2A A T? . 四、 ,A B是正定矩阵,证明: A B A B? ? ? . 五、若 S 是 n 阶实反对称矩阵,证明: ( )i S 的特征值只能是0 或存虚数; ( )ii E S? 是可逆矩阵,其中E 是n 阶单位阵; ( )iii ? ?? ? 1T E S E S ?? ? ? 是正交矩阵. 六、若 ,f g 是向量空间V 的线性变换,且 2f f? ,证明: ( )i f 的特征值只能是1或0 ; ( )ii 若 1 0,V V 分别表示特征值1, 0 的特征子空间,则 1 Im( )V f? ( f 的值域), 0 ( )V Ker f? ( f 的核); ( )iii 存在一组基,使 f 在此基下的矩阵为对角矩阵. 武大汉学 1994 年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目:数学分析 一、设? ?nx 是正无穷大数列(即对于任意正数M ,存在自然数 N ,当 n N? 时,有 nx M? .),E 为? ?nx 的一切项组成的数集.试证必存在自然数P ,使得 inf .px E? 二、设函数 ( )f x 在点 0x 的某空心邻域 0U 内有定义,对于任意以 0x 为极限且含于 0U 的数列? ?nx ,极限 lim
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