武汉大学1992-2013年数学专业考研试题.pdf

武大汉学 1992 年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析 一、给定数列? ?nx 如下： 0 1 1 10, ( 1) , 0,1, 2,n n k n ax x k x n k x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ( )i 证明数列? ?nx 收敛； ( )ii 求出其极限的值． 二、设函数 ( )f x 定义在区间 I 上，试对“函数 ( )f x 在 I 上不一致连续”的含义作一 肯定语气的（即不用否定词）叙述，并且证明：函数 ( ) lng x x x? 在区间 ? ?0,?? 上 不一致连续． 三、设函数 ( )f x 在区间? ?0, a 上严格递增且连续， (0) 0f ? ， ( )g x 为 ( )f x 的反函数， 试证明成立等式： ( ) 0 0 ( ) [ ( )] a f a f x dx a g x dx? ?? ? ． 四、给定级数 0 . 1 n n x n ?? ? ? ? ( )i 求它的和函数 ( )S x ； ( )ii 证明广义积分 1 0 ( )S x dx? 收敛，并写出它的值． 五、对于函数 2 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 x y x y x yf x y x y ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ，证明： ( )i ( , )f x y 处处对 x ，对 y 可导； ( )ii 偏导数 ( , ), ( , )x yf x y f x y? ? 有界； ( )iii ( , )f x y 在点 (0,0)不可微； ( )iv 一阶偏导数 ( , ), ( , )x yf x y f x y? ? 中至少有一个在点 (0,0)不连续． 六、计算下列积分： ( )i 1 0 ln b ax x dx x ? ? ，其中 ,a b为常数，0 a b? ? ； ( )ii 2y D e dxdy??? ，其中D为平面上由直线 y x? 及曲线 1 3y x? 围成的有界闭区域． 武汉大学 1992 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：线性代数（000） 注意：所有答题内容必须写在答题纸上，凡写在试题或草稿纸上的一律无效。 一、设M 是所有 n 阶实对称矩阵的集合，问分别按 ( )i 等价关系；( )ii 合同关系；( )iii 相似关系； ( )iv 正交相似关系来分类，有多少个等价类，并写出第一个等价类的标 准形矩阵. 二、设 0 0 1 0 0 1 0 0 A ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为 n 阶方阵， ( )i 求 A的特征值； ( )ii 若 4n ? ，求正交矩阵P ，使 1P AP? 为对角阵. 三、 A为 n 阶方阵， A的秩 ( )r A r n? ? ，证明下列条件等价： ( )i 2( ) ( )r A r A? ； ( )ii 存在可逆矩阵P ，使 1 0 0 0 D A P P? ? ?? ? ? ? ? ，其中 D是 r 阶可逆矩阵； ( )iii 存在可逆矩阵T ，使 2A A T? . 四、 ,A B是正定矩阵，证明： A B A B? ? ? . 五、若 S 是 n 阶实反对称矩阵，证明： ( )i S 的特征值只能是0 或存虚数； ( )ii E S? 是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位阵； ( )iii ? ?? ? 1T E S E S ?? ? ? 是正交矩阵. 六、若 ,f g 是向量空间V 的线性变换，且 2f f? ，证明： ( )i f 的特征值只能是1或0 ； ( )ii 若 1 0,V V 分别表示特征值1, 0 的特征子空间，则 1 Im( )V f? （ f 的值域）， 0 ( )V Ker f? （ f 的核）； ( )iii 存在一组基，使 f 在此基下的矩阵为对角矩阵. 武大汉学 1994 年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析 一、设? ?nx 是正无穷大数列（即对于任意正数M ，存在自然数 N ，当 n N? 时，有 nx M? .），E 为? ?nx 的一切项组成的数集．试证必存在自然数P ，使得 inf .px E? 二、设函数 ( )f x 在点 0x 的某空心邻域 0U 内有定义，对于任意以 0x 为极限且含于 0U 的数列? ?nx ，极限 lim