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2010年国家集训队训练题（陶平生） 一、试求所有的正整数组，使得 ，，，皆为平方数． 解：设，，则… ① 相加得， …② 由②知，中必有一个为负值，据对称性，不妨设， ，则，于是②化为 ……③ 下面按的情况讨论： 先说明，四数至少有两个相等．若互异，则也互异． 事实上，回到①和②，（这时及仍为对称），不妨设， 则由①的前三式相减得，由互异得，矛盾！因此互异，于是由得，；再由①的第四式得 ，而由③式，，矛盾！ 因此，四数中至少有两个相等（即它们至多取三个不同的值），以下仍考虑时的情况； 、当四数只取三个值； 假若在中有两个相等，设，由①得，， 由①的第四式，，所以， 而由③，，矛盾！ 所以，据的对称性知，两两不等； 若，则，由①的第一式或四式得，，于是， …… ④，则 由③得，，注意 有 即 所以 …… ⑤ 据此知，中必有一个为负数，设，因为正整数且异于， 得，故①中第三式成为 ……⑥，由④、⑥， ……⑦，因此⑤化为， ……⑧， 则，因为正整数且异于，所以． 现将代入①得， 解得 ，即； 、当四数只取两个值； 、当四数中有两对相等，设，则， 由①中第四式， ……⑨，由②得，， 即 ……⑩，由⑨、⑩得，，故， 而，所以，得，于是， 、当四数中有三数相等； 若，则，①式中第四式成为 ，第一式成为 ，消去得，，故，得，所以 ，这时； 若，则，由①，，得， ； 若，则，； 若，则， ， 故本题的所有解为，，， ，五种情况，其中，四数位置可以任意轮换． 二、数列：，； 证明：，皆可表为两个正整数的平方和． 证:由条件易得，，……， 我们注意到,,而； ，而；， 而；……，据此猜测，对每个正整数，都有： ……① 为便于证明①，我们还需给出一个关于的递推关系： ……② 今证①与②：对大于的归纳，时皆已验证，设①与②对于成立，则对于，由①、②以及，有 ……③ ……④ 因此，①与②对于也成立；故由归纳法，对每个正整数，①与②皆成立． 且①式表明，为两个正整数的平方和． 三、给定一个项的实数列，然后选定一个实数，将数列变换为： ；这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以各不相同； （ⅰ）、证明：可以经过有限次这样的变换，使得数列的各项全变为； （ⅱ）、为了确保对于任何给定的初始数列，以上结果都能实现，问最少需要作多少次这样的变换？ 解：设是在对初始数列作了次变换后所得的数列，而是在作第次变换时所取的减数之值； 若取，则在作了第一次变换后，所得到的数列中，有，即其前两项相等； 若再取，则在作了第二次变换后，所得到的数列 中，有，即其前三项相等； 再继续作类似的变换，即在第步中，取，其结果将使得在第次变换后，所得到的数列中，前项相等； 如此下去，第次变换后，所得到的数列中，所有各项都相等，于是只要再取，则在作了第次变换后，数列各项均变为． 再说明，为了保证对于任何给定的初始数列都能化为全零数列，至少要作次变换． 为此，我们需要构作一个数列，使得无论每次怎样选择减数之值，若所作的变换少于次，则不可能将其化为全零数列． 构作一个增长速度较快的数列，例如数列！，！，…，!，我们来证明，若所作的变换少于次，则不可能将其化为全零数列． 应当指出，在将某个数列变为全零数列的一系列变换过程中，若在其中某一步变换时所取的减数之值小于此时数列中各项的最小值，那么这一变换过程的变换步数便不是最小的；事实上，首先，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设在使用减数之值作过一次变换后，紧接的下一次变换所施用的减数为，那么这两次连续变换的结果可以用一次以为减数的变换来替代（这是由于，从可得等式） 类似地，若某一步变换时所取的减数之值大于此时数列中各项的最大值，那么这一变换过程的变换步数也不是最小的；只不过此时分别以和为减数的连续两次变换，可以用以为减数的一次变换来替代．（这是由于，从可得等式）． 基于以上理由，可知，如果某一数列是在经过了最少的次数之后而变为全零数列的，那么它在变换过程中的每一步变换所取的减数都应介于当时数列各项的最大值与最小值之间； 下面，我们用数学归纳法来证明，至少需要作次变换，才能将数列 ！，！，…，!变为全零数列． 当时结论显然成立，这是因为对于数列！，！（即1和2），无论选取怎样的，一次变换不可能将它们全变为零，而至少需两次变换，（例如，选取 ）； 假设已证得，时，为将！，！，…，!变为全零数列，需要经过不少于次变换，又假定只需次变换，也能将！，！，…，!，！变为全零数列，(此时，它的子数列！，！，…，!当然也变为全零了)，那么由归纳假设以及前述讨论可知，第一步变换中所取的减数应满足不等式， 而在后继的各步变换所取的减数，也都应当不超过由原数列的第次变换后所得数列各项的最大数，这个最大数当