椭圆及其标准方程新.doc

椭圆及其标准方程 山东省诸城繁华中学数学组 崔伯青 一、教案背景: 本章是学生学习了直线与圆的方程的基础上，进一步用坐标法来研究曲线。而椭圆又是研究圆锥曲线的重点，通过对求椭圆方程，使学生掌握推导这类轨迹方程的一般规律和化简的常用技巧，让学生掌握解析几何的基本方法和思想。 二、教材分析 1、地位与作用 椭圆是后继学习其它圆锥曲线的基础,是用坐标法求曲线方程的应用实例，它实现了数与形的相互转化。双曲线、抛物线方程的推导可以类比椭圆的标准方程的推导方法，为后继内容的学习提供了方法和思路，所以本节课具有不可替代的作用。 2、教材处理： 本节课内容的学习主要采用学生自主探究学习的方式,使学生在课堂上动手实验、观察、归纳、推理，教师在教学中起着一个组织、引导、服务、协调的作用，引导学生逐个突破难点，培养学生的探索精神和创新能力，让学生再自主学习、合作探究的氛围中完成问题，掌握各种数学基本技能，培养其学习数学的浓厚愿望和兴趣。 3、学习目标： (1)知识与技能 ①使学生掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程； ②了解求曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。 （2）能力目标 ①培养学生观察、归纳、分析探索能力； ②提高运用坐标法解决解析几何问题的能力； ③提高学生的运算能力。 三、教学过程 教 学 过 程 设 计 意 图 1、观看视频：嫦娥一号奔月运行轨迹 问题1： 圆的几何特征是什么？ （学生：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 问题2：平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是什么？ 2、概念形成 取一条一定长的细绳和一画板，将绳的两端固定在画板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2两点间的距离时，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖在画板上移动，观察动点运动的轨迹。 学生概括椭圆定义： 平面内到两定点F1和F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 问题3：若常数=|F1F2|，动点的轨迹是什么？若常数＜|F1F2|，动点的轨迹是什么？ 练习： 已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是 A、椭圆 B、直线 C、圆 D、线段 3、椭圆方程的推导 （1）建系并设点 如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？ （学生可能的建系方法有如下几种：） 点评：建系一般应遵循对称、简洁原则 如：以两定点F1和F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设| F1 F2|=2c(c0)，M(x,y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0),F2(c,0) （2）点的集合 由定义得椭圆上的点的集合为 P={M||MF1|+|MF2|=2a} （3）列方程 （4）化简方程 整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2) 即 （*） 学生通过视频感知椭圆，激发其求知欲。 复习旧知识，提出新问题。 学生动手实验，观察椭圆的形成过程，并引导其观察、归纳、概括椭圆定义 学生语言表述椭圆定义，其他同学补充完善。 学生小组内进行合作探究，强化对椭圆概念的理解。 进一步加深理解椭圆定义。 回顾求曲线方程的一般步骤。 学生讨论思考如何建立坐标系并说明理由。这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力，让学生在相互合作中获取知识。 学生再一次进行建系方法的选择，提高学生的比较鉴别能力。 分小组进行方程的化简：焦点在x轴与焦点在y轴的椭圆方程。 教师适当引导方程的化简技巧。 问题4：你能从下图中找出表示a,c，的线段吗？ 因为ac0，所以a2-c20 设a2-c2=b2（b0），则（*）式化为 即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程。 鼓励学生动脑思考 强调b的几何意义 进一步强调取曲线方程的基本步骤 4、 标准方程比较 标准方程 图 形 焦点坐标 F1(-c,0），F2(c,0） F1(0,c），F2(0,-c) 、、的关系 焦点位置的判断 标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在那个轴上 。 （3），焦点在轴上； （4），焦点在轴上； 跟踪练习： 根据下列条件，求椭圆的标准方程: (1)焦点坐标为（-5,0）和 （5,0），椭圆上一点与两焦点的距离之和为26 （2）焦点坐标为，且经过点 例2、求下列方程表示的椭圆的焦点坐标： （1） （2） 跟踪练习： 已知椭圆的两个焦点分别是 ，在添加什么条件，可得这个椭圆的方程为 。 6、学习小结（写出本节课你的所学、所思、所悟、所疑）