浅论行列式及其计算方法.docx

浅论行列式及其计算方法摘要：本文主要介绍了行列式的概念——行列式是n阶矩阵的一个特征量。行列式的性质——行列式和它的转置行列式相等等一系列性质。行列式的计算方法——化三角法，定义法等。克莱姆法则。以及和矩阵相关的一些问题。关键词：行列式的概念 行列式的性质 行列式的计算 矩阵 克莱姆法则正文1行列式的概念1.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如 （1.1） （1.2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如表示该元素位于第3行、第2列。二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。【例】；；。1.2 阶行列式的全面展开用个元素可以构成阶行列式。行列式有时简记为。一阶行列式就是。高于4阶的行列式不能用对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定阶行列式的全面展开按如下方式进行：（1）展开式的每一项都是不同行、不同列的个元素的乘积。（2）取自不同行、不同列的个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。如对应的排列是2 1 3。所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，个自然数共有种排列，因而全面展开式共有项。（3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数为偶（奇）数。比如排列4 3 1 2中，4后面有比它小的3、1、2（算作3个逆序），3后面有1、2，合计共有5个逆序，是奇排列。全面展开式的项中有半数的前置符号为正，另一半为负。通过全面展开来计算行列式显然是很复杂的，应该考虑简便的方法。2行列式的性质将行列式的行与列互换后得到的行列式，称为的转置行列式，记为。即 ，实际书写时，“横着看，竖着写”，便可得到转置行列式。性质1 行列式转置后，其值不变，即。【例】 证 在行列式中，每一行取一个元素，这个元素位于不同的列，它们的乘积添上前置符号构成了的展开式中的一项。该项中的元素也可以理解为取自不同的列，并位于不同的行，而这正是的展开式中的一项。可见和的展开式中各项都对应相同，因此它们相等。这条性质告诉我们，行列式的行具有某一性质，它们的列也具有相同的性质。性质２ 交换行列式的两行（列），行列式的值变号。【例】 证 交换行列式的两行，相当于在展开式每一项所对应的列标排列中，交换了两个数字的位置。这两个数字之间的逆序发生了变化，而这两个数字和其它数字之间的逆序变化是成对发生的，因此整个排列的逆序数变化量为奇数，从而排列的奇偶性发生改变。即行列式展开式中的每一项都改变了符号，于是行列式的值变号。性质3 行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到行列式的外面。【例】 证 行列式的某一行有公因子时，因为行列式展开式的每一项中都出现了该行的一个元素，所以每一项都有了公因子，当然可以提取出来。这条性质也可以反向运用：行列式乘数，等于把乘到行列式的某一行（列）上去。推论以下三种行列式的值为零。（1）行列式有某一行（列）的元素全为零。（2）行列式有两行（列）完全相同。（3）行列式有两行（列）的元素成比例。证 其中第一种行列式有公因子；第二种行列式交换两行（列）后，其值不变，同时又改变符号，即，故；第三种行列式提取公因子后，即第二种行列式。性质4 一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行（列）上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其它行（列）的元素都与原行列式相同。【例】 证 因为在行列式展开式的各项中，可以把来自于某行（列）的元素拆分成两数之和，再利用分配律将每一项都拆成两项之和，由此组合成两个行列式，而且行列式中除被拆分的元素外，其它元素都未变。这条性质给出了行列式的拆分规则。若反向运用，则成了行列式的合并规则。拆分与合并规则特别强调：除某一对应行（列）外，其余元素都相同。性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。证 做了这种变换后的行列式可以拆分成两个行列式，一个是原行列式，另一个是推论中的第三种行列式（其值为零）。比如在一个三阶行列式中将第1列乘数后加到第3列，所得行列式可拆分为：3行列式的计算方法3.1定义法级行列式的值等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和,这里是的一个排列,每一项都是按下列规则带有符号:当是偶排列时,带有正号,当是奇排列时,带有负号.这一定义可以写成,这里表示对所有级排列求和.例 1. 计算的值.解:原式但是对于含有元素较多的高阶行列式可用定义法计算则较为复杂,一般仅对2级3级的行列式采用。而对与高阶行列式中