三角形的各种线段计算方法.pdf

第2节三角形的各种线（★★★）

强化训练

1．（★★）在△ABC中，α=4，b=3√3，c=5，则BC边上的中线AD的长为_

答案：√22

解法1：已知三边，可先在△ABC中算cosB，再到△ABD中由余弦定理算AD,

2ac20

解法2：如图，所有线段中只有AD未知，可利用之ADB与乙ADC互补，建立方程求AD，

设AD=x，由图可知ADC=π-LADB，所以cosADC=cos(π-ADB)=-cosADB,

x+4-27_x+4-25

故

2×x×22×x×2

2.（2022·厦门模拟·★★★）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为α,b,c,若bsinC+asinA=bsinB+csinC，

则内角A=__；若D是边BC的中点，且c=2，AD=√13，则α=_

解法1：因为bsinC+asinA=bsinB+csinC，所以bc+a=b+c，从而b+c-α=bc，

_b+c-a_bc_1.

故cosA=结合0Aπ可得A=

2bc-2bc2

如图1，有α、b两个未知数，需建立两个方程求解，首先对A用余弦定理建立一个方程,

由余弦定理，a=b+c-2bccosA，将c=2和A=π代入整理得：a=b+4-2b①,

3

由乙ADB与乙ADC互补可建立第二个方程,

a~

+13-4+13-b2

因为LADB=π-LADC，所以cosADB=cos(π-LADC)=-cosADC，故4

2..√132..√13

2

整理得：α=2b-44，代入式①整理得：b+2b-48=0，解得：b=6或-8（舍去),

代入式①可求得a=2√.

解法2：求A的过程同解法1，也可将AD用AB和AC表示，借助向量的运算来求b,

LAC+AB+2AC·AB)

L

故13=(b+4+2b·2cos-

4)，解得：b=6或-8（舍去)，

已知两边及夹角了，可由余弦定理求第三边a,

所以a=b+c-2bccosA=36+4-2x6×2×cos

s=28，故a=2√7.

3

解法3：求A的过程同解法1，也可将△ABC补全为如图2所示的平行四边形ABEC，先在△ABE中算b,

如图2，BE=AC=b，AE=2AD=2√i3，ABE=π-A=2π

在△ABE中，由余弦定理，AE=AB+BE-2AB·BE·cOSLABE，

所以52=4+b-2×2×b×cos2π解得：b=6或-8（舍去)，接下来求α的过程同解法2.

/13/13

b