人口增长的预测(数学建模论文.pdf

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关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口

一题目：

请在人口增长的简单模型的基础上。

（1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型；

（2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证；

（3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的

人口作出有关预测；

（4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。

二摘要：

本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假

设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口

数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t)时，净增长

率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386,=1908,=14.5。画出N=N(t)的图

像，作为人口增长模型的一种近似。

做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，

作出相轨迹的运动图。当初始人口时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用

Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口

的预测值，也称谓平衡点。

用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数

绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达

到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的

数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。

三问题的提出

1．Malthus模型

英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），

因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然

增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人

口总数成正比。根据这个假设有：

,(1.1)

这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：

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如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口

爆炸。

2．Logistic模型

1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人

口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t)时，净增

长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为：

，（2.1）

上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解：

N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’）

N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0)

化简后得：

四利用数学模型对中国人口的预测

1给出对于中国人口的预测

表1中国人口数据

年19081933195319641982199019952000

人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.013.0

表1给出了1908年到2000年中国人口数据，参数＝3.0,r=0.0386,=1908,=14.5。画出

N=N(t)的图像。（绿色点是普查数据，蓝色是预测曲线，红色为渐近线，画图程序见附录）

图1

由于N（t）描述了一个人口增长得数学模型，所以对函数N（t）的了解实际上也是人口增

长规律的了解，而不是仅仅处理一个高等数学综合习题。实际上，人口问题的研究是很复杂

的，Logistic模型只是一种近似。

2微分方程解的定性分析

（1）求N＝N（t）的驻点和拐点。

驻点：驻点