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人口增长的预测(数学建模论文.pdf

发布:2025-03-22约7.02千字共7页下载文档
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关键字:人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口

一题目:

请在人口增长的简单模型的基础上。

(1)找到现有的描述人口增长,与控制人口增长的模型;

(2)深入分析现有的数学模型,并通过计算机进行仿真验证;

(3)选择一个你们认为较好的数学模型,并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的

人口作出有关预测;

(4)就人口增长模型给报刊写一篇文章,对控制人口的策略进行论述。

二摘要:

本次建模是依照已知普查数据,利用Logistic模型,对中国人口的增长进行预测。首先假

设人口增长符合Logistic模型,即引入常数,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口

数。并假设净增长率为,即净增长率随着人口数N(t)增长而减小,当N(t)时,净增长

率趋于零。按照这个假设,。用参数=3.0,r=0.0386,=1908,=14.5。画出N=N(t)的图

像,作为人口增长模型的一种近似。

做微分方程解的定性分析,求出N=N(t)的驻点和拐点,按照函数作图方法列出定性分析表,

作出相轨迹的运动图。当初始人口时,方程的解单调递增到地趋向,这意味着如果使用

Logistic模型描述人口增长,则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数,因此可作为人口

的预测值,也称谓平衡点。

用导数做稳定分析,为判断平衡点是否为稳定,可在平面上绘制f(x)的图象,然后像函数

绘图那样,用导数进行定性分析,通过图看出人口数N(t)按时间是递增的,当人口数未达

到饱和状态的时候,将逐渐地趋向,这意味着是稳定的平衡点。按该模型,未来人口的

数量将随着时间的演化,从初始状态出发达到极限状态,这样就给出了人口的未来预测。

三问题的提出

1.Malthus模型

英国统计学家Malthus(1766-1834)发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N(t),

因为人口总数很大,可近似把N(t)当作连续变量处理。Malthus的假设是:在人口的自然

增长过程中,净相对增长率(出生率减去死亡率)是常数,即单位时间内人口的增长量与人

口总数成正比。根据这个假设有:

,(1.1)

这是一个最简单的可分离变量方程,用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为:

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如果人口的增长符合Malthus的模型,则意味着人口数量呈指数级数增长,最终结果是人口

爆炸。

2.Logistic模型

1938年,荷兰生物数学家Verhulst引入常数,用来表示自然环境条件所能容许的最大人

口数。并假设净增长率为,即净增长率随着人口数N(t)增长而减小,当N(t)时,净增

长率趋于零。按照这个假设(1.1)式可改为:

,(2.1)

上述方程为可分离变量方程,可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解:

N=dsolve(’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’)

N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0)

化简后得:

四利用数学模型对中国人口的预测

1给出对于中国人口的预测

表1中国人口数据

年19081933195319641982199019952000

人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0

表1给出了1908年到2000年中国人口数据,参数=3.0,r=0.0386,=1908,=14.5。画出

N=N(t)的图像。(绿色点是普查数据,蓝色是预测曲线,红色为渐近线,画图程序见附录)

图1

由于N(t)描述了一个人口增长得数学模型,所以对函数N(t)的了解实际上也是人口增

长规律的了解,而不是仅仅处理一个高等数学综合习题。实际上,人口问题的研究是很复杂

的,Logistic模型只是一种近似。

2微分方程解的定性分析

(1)求N=N(t)的驻点和拐点。

驻点:驻点

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