大学数学-对于一元多项式的具体分解问题汇编.doc

PAGE PAGE 3 对于一元多项式的具体分解问题 学过多项式分解的都知道多项式分解也就是分解为不可约多项式的乘积和判断其有无重根，而且我们都知道在复数系中分解最为简单。这个就不说了。所以我们来讲实数系分解。 我们都知道实数系分解的一般形式是 f(x)=a0(x-a1)^k1*(x-a2)^k2*……*(x2+p1*x+q1)^h1*(x2+p2*x+q2)^h2*…… 而且这里面的每一个多项式都是不可约多项式。次数为2次的多项式可归结为判别式小于0这是为不可约多项式。 在此我们第一种情况有重根也就是重因式存在。 当f（x）的最高次数大于2时有重根的时候也就是k或h大于0 ①令g(x)=(f(x),f(x)) f(x)是f(x)的一阶导数,g(x)为f(x)与f(x)的公因式。此时公因式g(x)绝不会为一常数。 ②令q(x)=f(x)/g(x) 由于g(x)是f(x)的因式,必定g(x)能整除f(x) ?③即f(x)=g(x)q(x) 也就是把要分解的次数降低了一次。 ?显然这里只求出了重因式并没有重因式的个数这时我们可以采用 (fk-1(x),fk-2(x))=1的情况到k-2阶导重因式结束 的结果可以看出重因式的个数为k-1因此这时候我们求出了其重因式个数。也就是说只要在k-1次导存在的因式而在k次导不存在说明其重因式个数. 第二种情况无重因式的存在。分为有理数域的多项式分解和无理数域的分解。 在此不给予讨论无理数情况存在 有理数域的分解大家都知道有基于艾森斯坦判别法的判断是否为有理数域上的分解性 在此基础上可约的时候我们这时 我们可以用综合除法解决其原理自己查找 下面我对一般考试 最高次数不超过4次的多项式进行讲解 对于f（x）=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 由式子我们可以相当在实数系中最高次数大于2的多项式必然可以分解为多个最高次数为2或1的多项式相乘 而一次多项式乘一次多项式显然是一个二次多项式 多以我们可以将上式分解为 f（x）=(zx^2+vx+n)(qx^2+lx+p) 由此f（x）=(zx^2+vx+n)(qx^2+lx+p)=f（x）=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 这时只要对(zx^2+vx+n)(qx^2+lx+p) 进行展开即可得出新的展开式 而(zx^2+vx+n)(qx^2+lx+p)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 我们都学过 恒等变形也就是x次数一样的系数是相等的不明白的查资料。这时我们可以列出其系数比例方程这样解出abcde的解就是展开的多项式解. 但是我们还需要对其进行二次多项式的可约性进行判别这时我们可以用一元二次方程的判别式小于0进行判断只要小于0说明不存在有理根这时我们才能最后放手 以下为类似上述情况的解决方案 未经允许不得转载