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个性化辅导讲义 讲义编号 学员编号：\\\ 年 级：九 课时数：3 授课课题 一元二次方程 授课时间及时段 _______年 月 日 星期 时段： 教学目标 1、掌握一元二次方程的概念，能分辨一元二次方程； 2、掌握一元二次方程的解法，包括配方法，公式法，因式分解法等等； 3、 教学内容与过程 一．上节知识点回顾复习： 二．知识点梳理： 知识点一：一元二次方程定义 1、如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 2、注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2。 （2）同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 3、要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如果能整理为一般形式，则这个方程就为一元二次方程，若不能，则不是。 例：下列关于的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴；⑵；（3）；（4）；（5） 知识点二： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意： （1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。如：x2+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x2+4x-1=0的常数项是-1而不是1； （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。 例：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）； （2）； （3） 例：已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三： 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四：一元二次方程的解法 1.直接开平方法 若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b0时，方程没有实数根。  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。 （1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。 例：用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3） 2、配方法 解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。 注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 例 ：用配方法解下列方程： （1）； （2） （1）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 步骤：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；把原方程变为的形式；若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。 例 解下列方程： （2）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤： 先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二次项的系数； 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 例 用配方法解下列方程： （1）； （2） 3、公式法 一元二次方程的求根公式是： 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。 例 用公式法解下列方程 （1）； （2）； （3） 4、因式分解法 （1）形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）； （2） （2）把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 如