2025北京海淀进修学校附中高三（下）开学考数学（教师版）.docx

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2025北京海淀进修学校附中高三（下）开学考

数学

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（本题共10小题，每小题4分共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数满足，则=

A. B. C. D.

3.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（）

A. B.

C. D.

4.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的焦点坐标为（）

A. B. C. D.

5.如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（）

A. B. C. D.

6.设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

8.已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（）

A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项

9.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（）

A. B.

C. D.

10.形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（）

(参考数据:lg2≈0.3010)

A.9 B.10 C.11 D.12

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11.在的展开式中，的系数为__________.

12.写一个焦点在轴上且渐近线方程为的双曲线标准方程______.

13.在中，角所对的边分别为，且，则__________；若的面积，则__________.

14.已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________．

15.在数列中，，．给出下列三个结论：

①存在正整数，当时，；

②存在正整数，当时，；

③存在正整数，当时，．

其中所有正确结论的序号是_______．

三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.已知函数的两个相邻零点之间的距离为，__________；从以下三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后完成下面问题.

（1）确定的解析式；

（2）令，若函数在上不单调，求整数的最小值.

条件①：的一条对称轴为；

条件②：的一个对称中心为；

条件③：为偶函数.

17.如图，在多面体中，为等边三角形，，，.点为的中点，平面平面；

（1）求证：平面；

（2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

18.在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动.为了解某区教师对五类线上教育软件的使用情况每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件.，从该区教师中随机抽取了人，统计数据如下表，其中，.

教育软件类型

选用教师人数

假设所有教师选择使用哪类软件相互独立.

（1）若某校共有名教师，试估计该校教师中使用教育软件或的人数；

（2）从该区教师中随机抽取人，估计这人中至少有人使用教育软件的概率；

（3）设该区有名教师，从中随机抽取人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为；该区学校有名教师，其中有人使用教育软件，人使用教育软件，从学校中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率值为；从该区其他教师除学校外.中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率估计值为.试比较，和之间的大小.结论不要求证明.

19.已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线过定点.

20.已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数.

①若在处取得极大值，求的单调区间；

②若恰有三个零点，求的取值范围.

21.已知无穷数列满足.对于