2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.1.doc

§6.1　数列的概念及简单表示法 1． 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2． 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1____an 其中n∈N＋ 递减数列 an＋1____an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3． 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式． 5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　S1　　　?n＝1?,Sn－Sn－1 ?n≥2?)). 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达． (　×　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． (　√　) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝eq \f(1＋?－1?n＋1,2). (　×　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (　√　) (5)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2. (　√　) (6)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝eq \f(1,2an－1)，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项． (　√　) 2． 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 (　　) A．15 B．16 C．49 D．64 答案　A 解析　∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于 (　　) A．1 B．9 C．10 D．55 答案　A 解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1. 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1. 即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1. 4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，则{an}的通项公式是an＝________. 答案　(－2)n－1 解析　当n＝1时，a1＝1；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝eq \f(2,3)an－eq \f(2,3)an－1， 故eq \f(an,an－1)＝－2，故an＝(－2)n－1. 当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1. 综上，an＝(－2)n－1. 5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1， B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行， 且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1， a2＝2，则数列{an}的通项公式是________． 答案　an＝eq \r(3n－2) 解析　由已知 ， 即S△OBnAn＋ 由相似三角形面积比是相似比的平方知OAeq \o\al(2,n)＋OAeq \o\al(2,n＋2)＝2OAeq \o\al(2,n＋1)，即aeq \o\al(2,n)＋aeq \o\al(2,n＋2)＝2aeq \o\al(2,n＋1)， 因此{aeq \o\al(2,n)}为等差数列且aeq \o\al(2,n)＝aeq \o\al(2,1)＋3(n－1)＝3n－2， 故an＝eq \r(3n－2). 题型一　由数列的前几项求数列的通项 例1　写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…； (3)－1，eq \f(3,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(3,4)，－eq \f(1,5)，eq \f(3,6)，…； (4)3,33,333,3 333，…. 思维启迪　先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系． 解　(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23