2023-2024学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷【答案版】.docx

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2023-2024学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．下列说法正确的是（）

A．若|a→|＝|b→|，则a→=b→或a→=-b→

C．若a→=b→，则a→?c→=b→?c→ D

2．若复数z满足i?（z+2）＝3﹣i，则z=

A．﹣3﹣3i B．﹣3+3i C．3﹣3i D．3+3i

3．在高为6的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是底面△ABC的水平放置的直观图，如图，OA＝OB＝2，O′C′=3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1

A．63 B．83 C．123

4．在边长为2的正三角形ABC中，点M满足CM→=2MA

A．-23 B．23 C．-4

5．若|a→|＝1，b→=（1，3），且a→在b→上的投影向量为1

A．π6 B．π4 C．π3

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB＝（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

7．已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（）

A．7 B．10 C．11 D．13

8．在锐角三角形ABC中，若c2＝a（a+b），则1tanA

A．（1，2） B．（1，233） C．（2，3） D．（23

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。

9．已知复数z1，z2是关于x的方程x2﹣bx+4＝0（|b|＜4，b∈R）的两根，则（）

A．z1z2＝4 B．z1

C．|z1|＝|z2|＝2 D．|z1+z2|＝|z1|+|z2|

10．一圆锥的侧面展开图如图所示，∠BAC=2π3，弧BC长为2π，M为线段AB的中点，N

A．该圆锥的体积为22π3 B．在扇形ABC

C．该圆锥内半径最大的球的表面积为2π D．该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为16

11．已知△ABC为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2asinB，则（）

A．1tanA+1tanB=2 B

C．若C=π4，则a2+b2=22ab

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知向量a→，b→的夹角为2π3，若|b→|＝2，|2a→-b→|＝213，则|a

13．在直三棱柱ABC﹣ABC中，∠ABC=π2，AB=3，BC＝AA′＝1，则直三棱柱ABC﹣ABC外接球的体积为，在三棱锥B﹣ABC中，底面A′BC上的高长为

14．南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶PMN在地面的投影为△ABC，且∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．在M点测得N点的仰角为15°，在N点测得P点的仰角为30°，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为m．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集．

（1）若复数z=ieiπ3

（2）在复平面内复数z1=eπ4i，z2=2-2

16．（15分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，2），B（2，0），OP→

（1）若点A，B，P不能构成三角形，求PB→

（2）当PA→?PB

17．（15分）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB＝AD＝4，C为底面圆周上一动点，∠BCD=π3，PA为圆台的母线，PA＝5

（1）求该圆台的表面积；

（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积的最大值．

18．（17分）请在①向量x→=（cosC，c﹣2a），y→=（b，cosB），且x→⊥y→；②（a2﹣b2）sinA＝（b2﹣

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．

（1）求B的大小；

（2）若b＝2，求△ABC周长的取值范围；

（3）若AC边上的高为1，求△ABC面积的最小值．

19．（17分）近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，BC临街，长16米，∠B＝75°，在BC上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路GE，GF，小路终点E、F在墙AB、CD上，且∠BGE＝∠CGF＝60°，GEF为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面EF用防腐木铺设．

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