2009年全国高考理科数学试题及详解-全国2卷.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题： 1. A. B. C. D. 解：原式.故选A. 2. 设集合，则= A. B. C. D. 解：..故选B. 3. 已知中，， 则 A. B. C. D. 解：已知中，，. 故选D. 4.曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 解：, 故切线方程为,即 故选B. 5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 解：令则,连∥ 异面直线与所成的角即 与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C 6. 已知向量，则 A. B. C. D. 解：。故选C 7. 设，则 A. B. C. D. 解： .故选A. 8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A． B. C. D. 解： ， 又.故选D 9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 A. B. C. D. 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 解：用间接法即可.种. 故选C 11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 m A． B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为, 由双曲线的第二定义有. 又 故选A 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解：展、折问题。易判断选B 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。 13. 的展开式中的系数为 6 。 解：，只需求展开式中的含项的系数： 14. 设等差数列的前项和为，若则 9 . 解：为等差数列， 15.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 . 解：设球半径为，圆的半径为， 因为。由得.故球的表面积等于. 16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。 解：设圆心到的距离分别为,则. 四边形的面积 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分） 设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。 分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。 也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。 评析：本小题考生得分易，但得满分难。 18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （I）证明： （II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。 （I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面， （射影相等的两条斜线段相等）而平面， （相等的斜线段的射影相等）。 分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。 分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。 （II）分析一：求与平面所成的线面角，只