交变电磁场中.docx

数学文化课程报告 交变电磁场中的波动方程及其求解 交变电磁场中的波动方程及其求解李太和【摘要】利用麦克斯韦方程推导出交变电磁场中的波动方程。当电磁场的空间分布从均匀向不均匀变化时，考虑的变量增多，需要用空间中以该点为球心的球面上的平均值来代替该点初始值，然后将问题转化为我们之前熟悉的一维波动方程，利用行波法求解问题。【关键词】麦克斯韦方程组 平均值 行波法 坐标变换 在21世纪中，电磁波扮演着至关重要的角色，从移动设备的通信，到卫星的信号传播，都借助于对电磁波的深入了解。所以了解空间中电磁波在传播过程中是怎样分布的就显得很重要了。一、无限域交变电磁场波动方程的建立由麦克斯韦方程组得 上述三式符合三维波动方程的表达式，下面对一般的三维无限空间的波动方程进行求解，即求解下列问题： 二、波动方程的求解对于偏微分方程为简化计算我们不去考虑波函数本身，而是考虑u在以M(x,y,z)为球心，以r为半径的球面上的平均值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关这样就启发我们先引入一个函数，它是函数u(x,y,z,t)在以点M(x,y,z)为中心、以r为半径的球面上的平均值，即其中 是球面上点的坐标，是以原点为中心的单位球面，是单位球面上的面积元素，dS是上的面积元素，显然 在球面直角坐标系， 由u(x,y,z)的连续性可知，当 时， ，即 此处的u(M,t)表示函数在M点及时刻t的值.下面推导 的微分方程下式中 表示所围成的的球体 表示在流动点的坐标，并应用高斯定理得 表示的外法向矢量.或但 故得 下面的问题是由初始条件来确定原来柯西问题的解但 由此可解得 所以 此外还可利用 将拓广到r0的范围内，并比较上面两式可知=，即是r的偶函数，同理和 也是偶函数，注意到这些后可将写成下列形式令并利用洛必达法则得到 或简记为 三、实例应用假设 且 满足以下条件代入公式得经计算得 当 时1.随t与z变换的图像如下所示：2.在某时刻与z的波形图如下：3.用matlab R2014a绘制波形随时间变化的动态图代码如下clearfor t=0:10^-10:10*10^-8 x=0:0.001:20; u=cos(10^8*t)*sin(x); plot(x,u,r) axis([-inf,inf, -1,1]); set(gca,YTick,[-1:0.5:1]) xlabel(z) ylabel(Ex) pause(0.02);end参考文献王元明 编.《数学物理方程与特殊函数》.第三版金绩祖 编.《场论》 7