校本课程高中数学竞赛讲义（上）.pdf

目录

第一章集合2

第二章函数15

§2.1函数及其性质15

§2.2二次函数21

§2.3函数迭代28

§2.4抽象函数32

第三章数列37

§3.1等差数列与等比数列37

§3.2递归数列通项公的求法44

§3.3递推法解题48

第四章三角平面向量复数51

第五章直线、圆、圆锥曲线60

第六章空间向量简单几何体68

第七章二项定理与多项75

第八章联赛二试选讲82

§8.1平儿名定理、名题与竞赛题……82

§8.2数学归纳法99

§8.3排序不等103

第一章集合

集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学

的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函

数、数列、方程与不等、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛

中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学

大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.

§1.1集合的概念与运算

【基础知识】

一.集合的有关概念

1.集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的

元素.

2.集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

3.集合的分类：无限集、有限集、空集人

4.集合间的关系：

二.集合的运算

1.交集、并集、补集和差集

差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构成的集合记作A\B.

即N\8={xeN且xe8}.

2.集合的运算性质

(l)ZU/=Z,/nZ=N(第等律)；

(2)ZU8=8U〃，=(交换律)；

(3)(4UB)UC=/U(8UC),(zn8)nc=zn(Bnc)(结合律)；

(4)411(8JC)=(ZU3)n(4UC),Zri(8UC)=(4nB)U(ZriC)(分配律);

(5)Zn(8U4)=/,/U(/n8)=N(吸收律)；

⑹(0/)=/(对合律)；

⑺Cu(4n8)=(Q.J)U(Q5),g(4U8)=(Cu/)n(QB)(摩根律)

r

⑻Z\(8UC)=(Z\B)n(Z\C),N\(8nC)=(4\B)U(4\C).

3.集合的相等

(1)两个集合中元素相同，即两个集合中各元素对应相等；

(2)利用定义，证明两个集合互为子集；

(3)若用描述法表示集合，则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件)，即等价；

(4)对于有限个元素的集合，则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集

合相等的必要条件.

【典例精析】

【例1】在集合{1,2,…中，任意取出一个子集，计算它的各元素之和.则所有子集的元素之

和