四、保留非线性潮流算法 电力系统分析（研究生）课件.ppt

四 保留非线性潮流算法 0. 引言 更加精确的数学模型 考虑泰勒级数高阶项 保留非线性潮流算法 泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项 极坐标形式 直角坐标 1. 保留非线性快速潮流算法 1.1 数学模型 采用直角坐标形式的潮流方程为 采用直角坐标，潮流问题实际上就是求解一个不含变量一次项的二次代数方程组。 对模型的几点说明 泰勒展开的二阶项系数已经是常数 取泰勒展开的三项将得到无截断误差的精确展开式 从理论上，取初值后，如能从展开式求解修正量，则一步便可以求得方程的解。 奇次二次方程表示的潮流方程（1） 定义如下： n维未知变量向量 x＝[x1 , x2 ,… , x n ]T n维函数向量 y (x)＝[y1(x) , y2(x) , … , y n (x)]T n维函数给定值向量 y s＝[y1s,y2s,…,y ns]T 一个具有n个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为 y i (x)＝[(a11)ix1x1+(a12)ix1x2+…+(a1n)ix1xn] + [(a21)ix2x1+(a22)ix2x2+…+(a2n)ix2xn] +…+ [(an1)ixnx1+(an2)ixnx2+…+(ann)ixnxn] 奇次二次方程表示的潮流方程（2） 于是潮流方程组就可以写成如下的矩阵形式 或 奇次二次方程表示的潮流方程（3） 系数矩阵为： 1.2 泰勒级数展开式 泰勒级数展开式（2） 于是与式（4－2）对应的精确的泰勒展开式为： 泰勒级数展开式（3） 式中： 泰勒级数展开式（4） H是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。 泰勒级数展开式（5） 泰勒级数展开式（6） 泰勒级数展开式（7） 泰勒级数展开式（8） 泰勒级数展开式（9） 泰勒级数展开式第二项 因为式（4－6）第二项展开后是向量函数y(x)在x=x(0)处的全微分。 泰勒级数展开式第二项（续） 于是，根据式（4－2），y(x)在x=x(0)处的全微分也可以表示为： 泰勒级数展开式（10） 泰勒级数展开式（11） 1.3 数值计算迭代公式（1） 式(4-9)是一个以?x作为变量的二次代数方程组，求解满足该式的?x仍要采用迭代的方法。式(4-9)可改写成 ?x＝－J-1[y(x(0))－ys＋y(?x)] 于是算法具体迭代公式为 ?x(k+1)＝－J-1[y(x(0))－ys＋y(?x(k))] 式中：k表示迭代次数；J为按x＝x(0)估计而得。 数值计算迭代公式（2） 算法的收敛判据为 也可采用相继二次迭代的二阶项之差作为收敛判据(更合理) 保留非线性快速潮流算法框图 1.4 算法特点及性能估计 牛顿法迭代公式 算法特点及性能估计（续1） 保留非线性： 恒定雅可比矩阵，只需一次形成，并由三角分解构成因子表 ?x(k)是相对于始终不变的初始估计值x(0)的修正量 达到收敛所需迭代次数多，收敛特性为直线但总计算速度较快 牛顿法： 每次重新形成因子表 ?x(k)是相对于上一次迭代所得到的迭代点x(k)的修正量 牛顿迭代法与保留非线性迭代法迭代比较 后面对通用迭代格式的分析将说明： B-B1等于 f(x(1))= f(x(0) ＋ ?x(1)) (4-14) 也就是H(?x(1)),也是y(?x(1)) C-C1等于 f(x(2))= f(x(0) ＋ ?x(2)) H(?x(2))＝ f(x(0)＋?x(1))＋ f(x(0)＋?x(2)) (4-15) ＝ A1A2 +A2A3 ＝ A1A3 ＝ y( ?x(2)) 1.5 具有更广泛意义的通用迭代公式 设所要求解的非线性代数方程组为f(x)＝0，对f(x)的性质无限制，则它的泰勒级数展开式可写成 f(x(0))＋f′(x(0))?x＋H(?x)=0 式中：H(?x)为泰勒展开式非线性总项。 迭代公式： －f′(x(0))?x(k+1)= f(x(0)) ＋H(?x(k)) 求解关键在于求解H(?x)，利用迭代过程进行 通用迭代公式推导 第一次迭代：k＝0，取?x(0)＝0,于是H(?x(0))＝0，因此 －f′(x(0)) ?x(1)＝ f(x(0)) 第二次迭代：k＝1，由迭代公式得 －f′(x(0)) ?x(2)＝ f(x(0)) ＋ H(?x(1)) 根据泰勒公式有 f(x(0)＋?x(1))＝f(x(0))＋f′(x(0))?x(1) +H(?x(1)