曲线和方程练习题集.doc

曲线与方程 一、选择题 1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝eq \f(x2,2)，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 解析 设点P(x，y)，则eq \o(PA,\s\up6(→))＝(1－x,1－y)，eq \o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－1－y)， 所以eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2. 由已知x2＋y2－2＝eq \f(x2,2)，即eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，所以点P的轨迹为椭圆． 答案　B 2．已知点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，直线l：x＝－eq \f(1,4)，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)． A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 解析　由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D. 答案　D 3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是(　　) A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，① 又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3x，,b＝\f(3,2)y，))② 代入①式整理可得x2＋eq \f(y2,4)＝1. 答案 C 4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)． A.eq \f(4x2,21)－eq \f(4y2,25)＝1 B.eq \f(4x2,21)＋eq \f(4y2,25)＝1 C.eq \f(4x2,25)－eq \f(4y2,21)＝1 D.eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1 解析　M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆， ∴a＝eq \f(5,2)，c＝1，则b2＝a2－c2＝eq \f(21,4)， ∴椭圆的标准方程为eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1. 答案　D 5．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是(　　) A．x2－y2＝9(x≥0) B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0) C．y2－x2＝9(y≥0) D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0) 解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52， 即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)． 答案　B 6．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　) A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x3) D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1(x4) 解析　如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x3)． 答案　C 7．|y|－1＝eq \r(1－?x－1?2)表示的曲