《2016年上海大学数学竞赛》.doc
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上海大学2008年高等数学竞赛参考答案
1.设曲线在点处的切线交x轴于点,求。
解:, ,切线方程为。
?? 切线过点,解之得,?
, ∴。
2.已知是可微函数,且满足,求函数。
解:令,则上式为,即;
得;??? 两边积分得。
3. 计算。
解:? 区域?关于y=0 对称,被积函数关于y 是偶函数,记是的上半部分.则
??
4.设(1)时,函数具有连续导数,且;
???? (2)在范围内的任何闭曲线上恒有
。
??? 试求的表达式,并计算曲线积分,其中是从到的一段弧。
? 解:由题设当时,,即满足
一阶线性微分方程,解得,又由条件得,即;且计算曲线积分可沿到再到的折线进行:
。
5. 设一球面的方程为,从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线,垂足为点P,当点Q在球面上变动时,点P的轨迹形成一封闭曲面S,求此封闭曲面S所围成的立体的体积。
解:设点Q为,则球面的切平面方程为
?
垂线方程为
代入及切平面方程,得,,即(P点轨迹),化为球坐标方程得。
。
6.设函数在连续,周期为1,且,函数在上有连续导数.设,证明:级数收敛。
证明:由已知条件,令
,则为周期为1的函数,且.
因此
,
由于连续、周期,则有界,,使,有,
又在连续,,使,有,
故,由正项级数比较法知收敛.
7.设函数在上连续,在内大于零,且满足;又曲线与所围的平面图形的面积值等于2,试求,并求常数为何值时平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。
解:因,故当时,有,
即,所以。又因为平面图形的面积为
所以 ,
故?
平面图形绕轴旋转一周的体积为
。
故当时,所求的旋转体的体积最小为。
8.设分别为曲线和上的任意两点,现分别在点开凿运河,证明当运河的长最短时,直线必是曲线和分别在处的法线,这里.
解:设点
目标函数:
约束条件: ,
设
? ,
即。
同理:
。
9. 将一均匀的物体:斜放在水平的桌面上,求稳定状态下, 轴与桌面的夹角。
分析:物体与桌面的接触点在侧面上到该物体重心距离最小的点处,由于侧面为旋转曲面,所以可处理为求截面边界抛物线上求到重心距离最近的点。
解:设重心。
,?
在侧轴截线上任取一点该点到的距离的平方为:
使最小,应取?。对于。
10,设四次可微函数在平面域的边界上为零,并且
?????????????
证明:
证:考虑函数,对此。易知
??????????????????????? ,?
? 因为在S的边界上为零,因此在这两线上为零。于是???
同理,在这两线段上为零,作与上相同的运算,得
因此 ,
从而
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