《2016年上海大学数学竞赛》.doc

上海大学2008年高等数学竞赛参考答案 1．设曲线在点处的切线交x轴于点，求。 解：， ，切线方程为。 ?? 切线过点，解之得，? ， ∴。 2．已知是可微函数,且满足，求函数。 解：令，则上式为，即； 得；??? 两边积分得。 3. 计算。 解:? 区域?关于y=0 对称，被积函数关于y 是偶函数，记是的上半部分.则 ?? 4．设(1)时，函数具有连续导数，且； ???? (2)在范围内的任何闭曲线上恒有 。 ??? 试求的表达式，并计算曲线积分，其中是从到的一段弧。 ? 解：由题设当时，，即满足 一阶线性微分方程，解得，又由条件得，即；且计算曲线积分可沿到再到的折线进行： 。 5. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积。 解：设点Q为，则球面的切平面方程为 ? 垂线方程为 代入及切平面方程，得，，即（P点轨迹），化为球坐标方程得。 。 6．设函数在连续，周期为1，且，函数在上有连续导数.设，证明：级数收敛。 证明：由已知条件，令 ,则为周期为1的函数，且. 因此 ， 由于连续、周期，则有界，，使，有， 又在连续，，使，有， 故，由正项级数比较法知收敛. 7．设函数在上连续，在内大于零，且满足；又曲线与所围的平面图形的面积值等于2，试求，并求常数为何值时平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。 解：因，故当时，有， 即，所以。又因为平面图形的面积为 所以 ， 故? 平面图形绕轴旋转一周的体积为 。 故当时，所求的旋转体的体积最小为。 8．设分别为曲线和上的任意两点，现分别在点开凿运河，证明当运河的长最短时，直线必是曲线和分别在处的法线，这里. 解：设点 目标函数： 约束条件： ， 设 ? ， 即。 同理： 。 9． 将一均匀的物体：斜放在水平的桌面上，求稳定状态下， 轴与桌面的夹角。 分析：物体与桌面的接触点在侧面上到该物体重心距离最小的点处，由于侧面为旋转曲面，所以可处理为求截面边界抛物线上求到重心距离最近的点。 解：设重心。 ，? 在侧轴截线上任取一点该点到的距离的平方为： 使最小，应取?。对于。 10，设四次可微函数在平面域的边界上为零，并且 ????????????? 证明： 证：考虑函数，对此。易知 ??????????????????????? ，? ? 因为在S的边界上为零，因此在这两线上为零。于是??? 同理，在这两线段上为零，作与上相同的运算，得 因此 ， 从而