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《2016年上海大学数学竞赛》.doc

发布:2016-10-25约1.08千字共6页下载文档
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上海大学2008年高等数学竞赛参考答案 1.设曲线在点处的切线交x轴于点,求。 解:, ,切线方程为。 ?? 切线过点,解之得,? , ∴。 2.已知是可微函数,且满足,求函数。 解:令,则上式为,即; 得;??? 两边积分得。 3. 计算。 解:? 区域?关于y=0 对称,被积函数关于y 是偶函数,记是的上半部分.则 ?? 4.设(1)时,函数具有连续导数,且; ???? (2)在范围内的任何闭曲线上恒有 。 ??? 试求的表达式,并计算曲线积分,其中是从到的一段弧。 ? 解:由题设当时,,即满足 一阶线性微分方程,解得,又由条件得,即;且计算曲线积分可沿到再到的折线进行: 。 5. 设一球面的方程为,从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线,垂足为点P,当点Q在球面上变动时,点P的轨迹形成一封闭曲面S,求此封闭曲面S所围成的立体的体积。 解:设点Q为,则球面的切平面方程为 ? 垂线方程为 代入及切平面方程,得,,即(P点轨迹),化为球坐标方程得。 。 6.设函数在连续,周期为1,且,函数在上有连续导数.设,证明:级数收敛。 证明:由已知条件,令 ,则为周期为1的函数,且. 因此 , 由于连续、周期,则有界,,使,有, 又在连续,,使,有, 故,由正项级数比较法知收敛. 7.设函数在上连续,在内大于零,且满足;又曲线与所围的平面图形的面积值等于2,试求,并求常数为何值时平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。 解:因,故当时,有, 即,所以。又因为平面图形的面积为 所以 , 故? 平面图形绕轴旋转一周的体积为 。 故当时,所求的旋转体的体积最小为。 8.设分别为曲线和上的任意两点,现分别在点开凿运河,证明当运河的长最短时,直线必是曲线和分别在处的法线,这里. 解:设点 目标函数: 约束条件: , 设 ? , 即。 同理: 。 9. 将一均匀的物体:斜放在水平的桌面上,求稳定状态下, 轴与桌面的夹角。 分析:物体与桌面的接触点在侧面上到该物体重心距离最小的点处,由于侧面为旋转曲面,所以可处理为求截面边界抛物线上求到重心距离最近的点。 解:设重心。 ,? 在侧轴截线上任取一点该点到的距离的平方为: 使最小,应取?。对于。 10,设四次可微函数在平面域的边界上为零,并且 ????????????? 证明: 证:考虑函数,对此。易知 ??????????????????????? ,? ? 因为在S的边界上为零,因此在这两线上为零。于是??? 同理,在这两线段上为零,作与上相同的运算,得 因此 , 从而
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