江苏省南京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案解析）.docx
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江苏省南京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果是（????）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，若向量与共线，则（????）
A． B．2 C．5 D．
3．函数的值域为（????）
A． B． C． D．
4．已知，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．设向量，满足，，，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
6．已知，则（????）
A． B． C． D．
7．在中，，则（????）
A． B． C． D．
8．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（????）
A．
B．点的坐标为，
C．
D．
10．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（????）
A．若，则，
B．若为斜三角形，则
C．若，则解此三角形的结果有一解.
D．若外接圆半径为，内切圆半径为，则
11．如图，长方形中，将它分成3个小正方形，下列讨论正确的是（????）
??
A．若，则
B．若P为长方形ABCD内动点，，为常数，则满足
C．若P在线段AC上（不包括端点），则取值范围为.
D．，若，则P在正方形内.
三、填空题
12．若cos2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝.
13．设都是单位向量，且，则的最小值为．
14．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则.
四、解答题
15．已知复数是纯虚数，其中是实数.
(1)求实数的值;
(2)求.
16．已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点A是扇形弧上的一点（不包含端点），过A作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点．
(1)若，求；
(2)设，求四边形的面积的最大值．
18．如图，在平面四边形中，，，，．
??
(1)若，求的值；
(2)若，，求AD的长．
19．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设函数，求证：；
(2)若函数，且，求其“相伴向量”的模；
(3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围.
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
C
D
B
C
ACD
ABD
题号
11
答案
AB
1．D
【分析】先化简，再利用复数的除法化简.
【详解】因为，所以.
故选：D.
2．D
【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量与共线，所以，
解得．
故选：D．
3．C
【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域．
【详解】，
因为，所以．即值域为，
故选：C．
4．B
【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，
所以，，
所以在上的投影向量为.
故选：B
5．C
【分析】根据已知条件，结合向量垂直，求得，再根据夹角公式，即可求得结果.
【详解】根据题意，，即，解得；
故，又，故.
故选：C.
6．D
【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式可得结果.
【详解】
，
故选：D.
7．B
【分析】根据题意结合两角和差的正切公式求得，进而可求，结合正弦定理运算求解.
【详解】因为，不妨设，
又因为，
即，解得，
所以，
因为，即，
且，即，
又因为，则，解得，
同理可得，所以.
故选：B.
8．C
【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可.
【详解】且，,
根据正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，
，,
的面积
为锐角三角形，，，
，，
，
.
故选：C.
9．ACD
【分析】A选项运用图形可判断；B选项可用三角函数定义判断；C选项可判断；D选项可知道,再利用中点坐标公式可判断.
【详解】，，A正确；