题型必备11 解三角形综合压轴小题归类 2025年高考一轮复习(解析).docx

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专题11解三角形综合压轴小题归类

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：三角形几解求参 1

题型二：判断三角形形状：化角为边型 3

题型三：判断三角形形状：化边为角型 7

题型四：面积公式的应用 9

题型五：求边长或者周长 12

题型六：解三角形求角度 14

题型七：范围与最值：知角和边求周长 16

题型八：范围与最值：知角和边求面积 19

题型九：范围与最值：判断角型 21

题型十：范围与最值：无长度求比值型 24

题型十一：范围与最值：正切型最值 28

题型十二：正余弦定理与三角形外心 32

题型十三：正余弦定理与角平分线 35

题型十四：正余弦定理与中线 38

题型十五：正余弦定理与三角形高 42

题型十六：解三角形综合应用 46

题型一：三角形几解求参

判断三角形解的个数有2种：

画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

②若有一个交点，则有一个解；

③若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

公式法：运用正弦定理进行求解。

①a＝bsinA，△＝0，则一个解；

②a＞bsinA，△＞0，则两个解；

③a＜bsinA，△＜0，则无解。

1．（23-24高三·陕西榆林·）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解.

【详解】的外接圆的半径，

如图所示，,是圆的直径.

可知点在优弧上（不包括端点），

当为时，此时取到最大值；

当点从点A到时，此时越来越大，且；

当点从点到C时，此时越来越小，且；

综上所述：若只有一个解，则的取值范围为.

故选：D.

2．（23-24高三·江苏南通·）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正弦定理用表示，再借助的范围求解即得.

【详解】在中，由正弦定理得，则，

由满足条件，的有两个，得，且，即，

因此121

故选：A

3．（2023·四川绵阳·模拟预测）命题：“若与满足：，则”．已知命题是真命题，则的值不可以是（????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据已知可知三角形有唯一解，根据已知结合正弦定理，以及与2的大小关系、正弦函数的取值范围，求解即可得出答案.

【详解】

在中，由已知可得，.

又，所以为锐角.

由正弦定理可得，，

所以，.

要使命题是真命题，则有唯一满足条件的解.

若，则，显然有唯一满足条件的解；

若，则，满足；

若，且，即，

即，此时有两解满足条件，此时命题是假命题；

当时，此时有，有唯一解，满足；

当时，此时有，显然无解，不满足.

综上所述，当或时，命题是真命题.

故选：D.

4．（23-24高三下·浙江·）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正弦定理求出，由，且，可得的取值范围.

【详解】由正弦定理可得：，所以，所以，

因为满足条件的有两个，所以，即，所以的取值范围是

故选：D

5．（22-23高三·北京）已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（????）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.

【详解】由正弦定理可得，

若满足条件的三角形有且只有一个，则或，

所以或，

可得或.

故选：D.

题型二：判断三角形形状：化角为边型

正余弦定理：化角为边型

正余弦定理：化角为边型

若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

1．（2021高三·全国·专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（????）．

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，

法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；

法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内