北京林业大学《高等数学B》李扉-活页答案-第十章.doc

第十章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。 解：由二重积分的几何意义知， 解：由二重积分的几何意义知， 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。 解：由 知 即 于是 所以 于是 解：因在D内 x+ye, 故 ln(x+y)1, 于是 解：在D中，且 而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y), 都有 故 于是 3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。 解： 从而 即 解： 则 f(x,y)在D上的最大值 最小值 区域D的面积 从而 4．设 f(x,y) 为一连续函数，试证： 证：由于f(x,y)连续，由二重积分中值定理知，存在点，使得 所以 第二节 二重积分的计算 1．计算下列二重积分 (1) 解：。 (2) 解： 。 解：。 (4) 解：。 (5) 解： 。 2．画出积分区域，并计算下列二重积分。 (1) 解：。 解： 。 (3) 解： 。 3．将二重积分化为二次积分（两种次序都要），其中积分区域D是 (1) 解： 。 (2) 解： 。 4．画出积分区域，改变下列二次积分的积分次序。 (1) 解： (2) 解： (3) 解：。 5．设平面板由曲线及直线所围成，质量面密度为，求板的质量。 解：所求板的质量 。 6．求由坐标平面、平面、及抛物面所围成的立体体积。 解：立体在xoy面投影区域为 ，， 所求立体体积为 。 7．计算二重积分。其中 }。 解：设 则 8．把二重积分化为极坐标下的二次积分，其中积分区域是：(1) 由所围成； (2) 圆与圆之间的区域。 解：(1) (2) 9．将下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分。 (1) ； 解：(1) 两个二次积分所对应的重积分的积分区域分别是 和 两者的并集是环形区域在第一象限的部分，于是 (2) (3) 。 10．利用极坐标计算下列各题。 (1) ，其中为的圆域； 解： (2) ，其中； 解： (3) ，其中； 解： (4) ，其中。 解： 11．选用适当的坐标计算下列积分。 (1) ，其中是由直线，，，所围成的闭区域； 解：选用直角坐标计算二重积分 (2) ，其中； 解：选用极坐标计算二重积分 （另外，本题亦可用对称性计算） (3) ，其中由直线，及上半圆周所围的区域。 解：选用极坐标计算 第三节 三重积分 1．化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是（1）由曲面所围成的区域； 解：两曲面所围立体Ω在 xoy面上的投影区域为，故，则 （2）由曲面，平面所围成的区域。 解：两曲面所围立体Ω在 xoy面上的投影区域为，故 则 2．利用直角坐标计算下列三重积分 （1） 其中为平面 所围成的四面体； 解： 。 （2） 其中由曲面 与平面所围成的区域； 解：， （3） 其中是由所围成的区域。 解：利用“先二后一”法计算。 3．利用柱面坐标计算下列积分 （1） 其中由平面曲面所围成的区域； 解：， （2） 其中为。 解： ， 4．利用球面坐标计算下列积分 （1） 其中闭区域由不等式 所确定； 解： （2） 其中由 所确定。 解：， （ⅰ）当时， ； （ⅱ）当时， 5．选用适当的坐标计算下列三重积分 （1）； 解：积分区域是由面、面及曲面和所围成，用柱面坐标计算， ， （2）其中：； 解：用柱面坐标计算。 积分区域是关于对称且被积函数是关于的偶函数， ，其中是由两个半球面 及平面所围成的区域。 解：用球面坐标计算。 ， 。 6．设 其中是曲面所围成的立体。试将三重积分I分别在直角坐标、柱面坐标和球面坐标化成三次积分，并任选一种计算I。 解：作出区域图形 求出两曲面的交线，其方程为， 在面上投影为 。 （1）在直角坐标系下化成三次积分， ， （对称性） （2）在柱面坐标系下化成三次积分， （3）在球面坐标系下化成三次积分， 7．曲面将球体分成两部分，求此两部分体积之比。 解：先求两曲面的交线，得交线 ， 而球的体积 ，从而 于是，两部分体积之比为 8．形如形容器，已盛有的水，今又注入的水，问水面升高多少？ 解：设水面高度为cm， 从而容器由及所围成， ， 容积 当cm时，有 cm， 当cm时，有 cm， 从而水面升高了 cm。 第四节 重积分的应用 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。 解：锥面被柱面割下部分曲面在面上的投影区域为 ， 于是，所求曲面面积为 求半球面及旋转抛物面所围成的立体的整个表面积。 解：半球面与旋转抛物面的交线为， 两曲面所围立体在上的投影区域为 ， 所求立体整个表面积为 。 求所给图形的形心 （1）由所围成； 解：由对称性知 ， ， 所求形心为。 （2）。 解： ， ，