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专升本考试考试试题卷

以下以专升本高等数学为例生成一份模拟试题卷及答案：

一、选择题（每题4分，共20分）

1.函数$y=\frac{1}{\sqrt{4x^2}}$的定义域是（）

A.$(2,2)$

B.$[2,2]$

C.$(\infty,2)\cup(2,+\infty)$

D.$(\infty,2]\cup[2,+\infty)$

答案：A

解析：要使函数有意义，则根号下的数大于0，即$4x^20$，也就是$x^24$，解得$2x2$，所以定义域是$(2,2)$。

2.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$f^\prime(0)=2$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.不存在

答案：C

解析：根据导数的定义，$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)f(0)}{x0}$，已知$f(0)=0$，所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=f^\prime(0)=2$。

3.不定积分$\intx\cosxdx$等于（）

A.$x\sinx+\cosx+C$

B.$x\sinx\cosx+C$

C.$x\sinx+\cosx+C$

D.$x\sinx\cosx+C$

答案：A

解析：利用分部积分法，设$u=x$，$dv=\cosxdx$，则$du=dx$，$v=\sinx$。根据分部积分公式$\intudv=uv\intvdu$，可得$\intx\cosxdx=x\sinx\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。

4.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,1,0)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：A

解析：根据向量点积的坐标运算公式，若$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。所以$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+(2)\times1+3\times0=0$。

5.微分方程$y^{\prime\prime}+y=0$的通解是（）

A.$y=C_1\cosx+C_2\sinx$

B.$y=C_1e^x+C_2e^{x}$

C.$y=C_1x+C_2$

D.$y=C_1e^x\cosx+C_2e^x\sinx$

答案：A

解析：该微分方程的特征方程为$r^2+1=0$，解得$r_{1,2}=\pmi$。根据二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式，当特征根为$\alpha\pmi\beta$时，通解为$y=e^{\alphax}(C_1\cos\betax+C_2\sin\betax)$，这里$\alpha=0$，$\beta=1$，所以通解为$y=C_1\cosx+C_2\sinx$。

二、填空题（每题4分，共20分）

1.已知$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x1}=b$，则$a=$______，$b=$______。

答案：$a=4$，$b=2$

解析：因为当$x\to1$时，分母$x1\to0$，而极限存在，所以分子$x^2+ax+3$在$x=1$时的值为0，即$1+a+3=0$，解得$a=4$。此时$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^24x+3}{x1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x1)(x3)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x3)=2$，所以$b=2$。

2.函数$y=x^33x^2+1$的单调递减区间是______。

答案：$(0,2)$

解析：对函数$y=x^33x^2+1$求导得$y^\prime=3x^26x$，令$