线性代数（丁友征）山建修订线性代数作业答案.doc

行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： ） ） 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （）2 4 1 3； ）1 3 … 2 4 … ； ）1 3 … … 2. ）逆序数为3）逆序数为）逆序数为3.写出四阶行列式中含有因子. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 为的逆序数．由于 已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为 和为所求. 4.计算下列各行列式： (1) =0 (2)= == (3) = == 5、证明： (1) (2) (3) = = = = = (4) 用数学归纳法证明 阶行列式命题成立，即 阶行列式命题成立. 为阶行列式）： (1), 其中对角线上元素都是a( 未写出的元素都是0( 解 (an(an(2(an(2(a2(1)( (2) ; 解 将第一行乘((1)分别加到其余各行( 得 ( 再将各列都加到第一列上( 得 ([x((n(1)a](x(a)n(1( (3) (4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5) = 7.用克莱姆法则解下列方程组： 9.有非零解？ 解 ， 即 , 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解. 1﹑已知两个线性变换 求从变量到变量的线性变换。 解 　由已知 所以有 2﹑设求及. 解 . 3﹑计算； ⑴ 解：. ⑵ 解：。 4．设,求. 解 ; 利用数学归纳法证明: 当时,显然成立,假设时成立,则时 由数学归纳法原理知:. 5﹑设求. 解 首先观察 , 由此推测 (***) 用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时， 由数学归纳法原理知: (***)成立. 6﹑设都是阶对称阵,证明是对称阵的充要条件是. 证明：　　由已知： 充分性： 即是对称矩阵. 必要性：. 7．设, ，问： (1)吗? (2)吗? (3)吗? 解 (1), . 则 (2) 但 故 (3) 而 故 8．举反例说明下列命题是错误的: （１）若,则; （２）若,则或; （３）若,且, 则. 解 (1)　取, ,但 (2)　取, ,但且 (3)　取, , . 且 但. 9﹑已知线性变换求从变量到变量的线性变换。 解： 所以 即. 10﹑求下列方阵的逆阵： ⑴ 解：, . . . ⑵ 解： 故存在 从而 . （3） 解： 由对角矩阵的性质知 . 11﹑解矩阵方程： ⑴ 解： ⑵ 解： . 12、利用逆阵解线性方程组： . 解：解、　　(1)　方程组可表示为 故 从而有 . 13、设（为正整数）,证明：. 证明：　　一方面， 另一方面，由有 故　 两端同时右乘 就有. 14、设,, 求. 解　　由可得 故. 15、设, 其中, 求. 解　　故所以 而 故 . 16.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。 证 因=，由的可逆性及，可知可逆，且 ＝； 另一方面，由伴随阵的性质，有=. 用左乘此式两边得===, 比较上面两个式子，即知结论成立。 17、设阶方阵的伴随阵为, 证明: ⑴若,则； ⑵ . 证明 (1)　用反证法证明．假设则有. 由此得. 这与矛盾，故当时, 有. (2)　由于 取行列式得到: 若 则 若由(1)知此时命题也成立 故有. 18.设，，求。 解 由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此，用左乘所给方程两边，得， 又，=2AB-8E=8E=4E. 注意到==,是可逆矩阵，且 =, 于是＝4=. 19、设,求 及及. 解　 ， 令 , . 则. 故. . . . 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 把下列矩阵化为行最简形： 解(下一步( r2(3r1( r3(2r1( r4(3r1( )~ (下一步( r2(((4)( r3(((3) ( r4(((5)( )~(下一步( r1(3r2( r3(r2( r4(r2( ) ~( 2. 利用矩