线代数综合练习题一.ppt

线性代数综合练习题（一）一、填空题：2、设则，1、四阶方阵A的特征值为1、2、3、4，则；3、设二次型则其秩为；4、向量组线性相关，则；5、已知A是满秩矩阵，且则B的秩为。二、选择题：1、设A为n阶可逆矩阵，是它的伴随矩阵，则；2、设A、B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有；3、设A是三阶可逆矩阵，则等于4、已知是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，与是对应的齐次线性方程组AX=b的基础解系，与为任意常数，则方程组AX=b的通解为；5、已知三阶实对称矩阵A的特征值为1、2、3，且对应于1、2的特征向量分别为和，则对应于3的特征向量为.三、解答下列各题1、已知AX=B-2X，其中求X.2、求矩阵的秩及一个最大无关列向量组.3、设矩阵A与B相似，其中求x,y的值.4、设PB=AP，其中问当取何值时，下面的方程组四、求.有解？有解时求其通解.五、设二次型1、试用矩阵形式表示；2、用正交变换将其化为标准型，并指出所用的正交变换.六、设求AX=b的解.七、设向量组的线性相关性.线性无关，试讨论向量组一、1、解：=1+2+3+4=102、将A分块而3、解：二次型矩阵为logo所以二次型的秩为3；4、解：因为三个3维向量线性相关解：因为A为满秩方阵，所以A可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当于对B进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，所以12二、1、解：故选(a).2、解：故选(c).3、解：故选(a).4、解：非齐次线性方程组的通解为其对应的齐次线性方程组的通解和它的一个特解的和。已知为非齐次方程组的通解,故选(b).5、解：因为实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是线性无关的，而且是正交的，所以对应于3的特征向量解得基础解系为所以得对应于特征值3的特征向量为故选(d).三、1、解：由AX=B-2X得logo（A+2E）X=B对矩阵（A+2EB）施行初等行变换2、解：对矩阵A施行初等行变换，使之化为行阶梯形矩阵则R（A）=3，第1、2、3列是列向量组的一个最大无关组。解：因为相似矩阵具有相同的迹，trA=trB,所以得x-1=y+1,即x-2=y又因为相似矩阵有相同的特征值,-1为矩阵B的一个特征值,所以-1亦为矩阵A的一个特征值,所以有解得x=0,y=-2,030201解：因为PB=AP而P可逆解：对增广矩阵B施行初等行变换