3.4 向量组的秩.ppt

设有向量组a1,a2,?,as, 只要组中的向量不全为零向量, 则至少有一个向量不为零向量, 因而它至少有一个向量的部分组线性无关; 再考察两个向量的部 作业 P160页 16. 17.(1) * * 分组; 如果有两个向量的部分组线性无关, 则往下考察 三个向量的部分组; 依此类推. 最后总能达到向量组中 有r(?s) 个向量的部分组线性无关, 而没有多于r(?s)个 向量的部分组线性无关, 即向量组中r个向量的向量组 线性无关的话, 则是最大的线性无关的部分组. §3.4 向量组的秩 一、向量组的极大线性无关组 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ②　　　　　　　　　　　　　　线性相关. 若满足： 设　　　　　 是一个向量组，它的某一个部分组 ①　　　　　　　　线性无关； 则称　　　　　　　　为Ａ的一个极大线性无关向量组， 简称极大无关组. 例 定义1 注 1、一个向量组的极大无关组不是唯一的. 2、线性无关的向量组其极大无关组是其本身 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1 证明 如果 是 的线性无关的 部分组，它是极大无关组的充分必要条件为： 中每一个向量均可 由线性 表示. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 　一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同. 　 　一个向量组的任意两个极大无关组都等价. 零向量构成的向量组不存在极大无关组.规定r(0)=0 　任何非零向量组必存在极大无关组. 　任何ｎ维向量组　　　　　如果线性无关，那么它 就是　中的极大无关组. 　显然ｎ维向量组　　　　　就是　中的极大无关组. 　向量组与它的任一极大无关组等价. 　一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、向量组的秩 定义2 向量组 的极大无关组所含向量个数， 称为向量组的秩． 记作： 例 Ａ的列向量组的秩称为列秩. 矩阵Ａ的行向量组的秩称为行秩. 定理2 A为m行n列矩阵，则r(A)=r的充分必要条件为： A的行(列)秩为r. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 推论 矩阵A的行秩与列秩相等. 如果对矩阵A仅施以初等行变换化为矩阵 ,则 的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系, 即 (1)如果A的列向量组 中,部分组 线性无关，则 的列向量组 中，对应的 部分组 也线性无关;反过来也成立. (2) 如果A的列向量组 中 ，某向量 可由其 中的 线性表示： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线 性关系. 则 的列向量组 中，对应的 可由其中的 线性表示： 类似地，如果对矩阵A仅施以初等列变换化为矩阵 ， 则 的行向量组与A的行向量组有相同的 线性关系. Evaluation only. Created with Aspose.Slid