生成随机样本.ppt

5.6 生成随机样本 迄今为止，我们介绍了许多描述随机变量行为的方法，包括变换、分布、矩的计算以及极限定理等等在实际应用中， 这些随机变量用于描述实际现象并进行建模，我们实际采集的数据就是随机变量的观测值. 例5. 6. 1 (指数型使用寿命) 设某类电子元件的使用寿命服从参数为λ 的指数分布， 生产商非常关心c 个元件中至少有t 个使用寿命大于等于h 小时的概率。 我们逐步分析该事件概率，首先 假设各元件之间独立，我们可以将对c 个元件的检测看成Bernoulli试验，于是 (5.6.2) 尽管计算式(5.6.2)井不需耍技巧， 但其计算量有些繁重，特别当t和c较大时计算量猛增。好在根据假设，p1服从指数分布，因而能够表示成初等函数: (5.6.3) 计算式(5.6.2)的一个模拟算法是生成具有相应分布的随机变量，并用弱大数定律(定理5.5.2) 证实模拟的可靠性。令 独立同分布，则由弱大数定律（假设定理条件都满足）可知 (5.6.4) (根据定理5. 5. 9强大数定律，上式改为殆必收敛也成立。) 例5.6.2 (例5.6.1-续) 概率p2可按下列步骤进行计算：对任意 a. 生成独立同分布、且服从参数为 的指数分布的随机变量 ； b. 如果有至少t个 使用寿命 ，则令 ; 否则令 。 则由 且 可知， 例5.6.1 和5.6.2 概括了本节的主要内容: 首先,是研究怎样生成我们需要的随机变量。 其次,要用大数定律证明模拟算法所得近似结果的可靠性。 5.6.1 直接法 如果函数g(u)可以表示成初等函数且当随机变盘U服从(0,1 ) 区间上的均匀分布时，变换后的随机变量Y=g(U) 满足某指定分布，则可以用直接法生成随机变量Y。 回忆定理2.1.10 (概率积分变换)，我们知道对于连续随机变量，任何分布都可以变换为均匀分布. 该变换的逆恰是使用直接法的关键g。 定理2.1.10 (概率积分变换) 设随机变量X有连续累积分布函数Fx(x)，令Y=Fx(x).则Y服从（0，1）上的均匀分布，即， 例5.6.3 (概率积分变换) 设随机变量Y 的累积分布函数为，U 服从(0 ，1)区间上的均匀分布，则随机变量 服从 分布. 如果Y 服从参数为 的指数分布， 则 也服从参数为 的指数分布。 鉴于指数分布与其他分布之间的联系，现在我们可以生成许多不同类型的随机变量. 例如，若 独立同分布且都服从（0 , 1) 区间上的均匀分布，则 是服从参数为 的指数分布的独立同分布随机变量，此外 回忆例5.6.3以及式( 5.6.5)都建立在概率积分变换基础上，该变换通常可以写作 (5.6.6) 上式若应用于指数分布将很容易处理，因为此时积分方程有一个形式极简单的解 。 例5. 6. 4 ( Box-Muller算法) 首先生成服从(0，1)区间上均匀分布的两个独立随机变量和，然后令 则 是一对独立的n(0，1)随机变量.所以尽管没有生成单个n(0，1) 随机变量的快速变换，我们却可以同时生成两个n(0，1) 随机变量 生成离散随机变量 如果离散随机变量Y可以取值 ，则类比式(5.6.6) ，我们有 (5.6.7) 根据式( 5.6.7)生成离散随机变量的步骤很直