离散数学第二版答案(6-7章).doc

第六章 代数系统 6.1第129页 1． 证明： 任取，，因此，二元运算*是可交换的； 任取， 因此，运算*是可结合的。 该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。 2． 证明：任取，由知，，*运算不是可交换的。 任取，由，知，，*运算是可结合的。 任取，，可知N中的所有元素都是等幂的。 *运算有右么元，任取，，知N中的所有元素都是右么元。 *运算没有左么元。 证明：采用反证法。假定为*运算的左么元，取，由*的运算公式知，由么元的性质知，，得，这与相矛盾，因此，*运算没有左么元。 3．解： ① 任取 因此对于任意的都有，即二元运算*是可交换的。 ② 任取 因此对于任意的，都有，即二元运算*是可结合的。 ③ 设幺元为 ，则，即幺元为1. ④ 对于所有的元素，都有，所以所有元素都是等幂的。 4．解：设 ① 设是上的二元运算，则是一个从的映射。 求上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。 由于，映射的个数为，即上有个二元运算。 ② 可交换即 设集合，要求上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射的个数，，其中： 具体如下图所示： 此时映射的个数 推广到有个元素时，映射的个数 ③ 单位元素即幺元，若存在必唯一。 设集合，若幺元为1，则有 此时的二元运算的个数相当于求映射的个数，其中： 映射的个数为 幺元为2，3，4时同理， 因此集合上有个有单位元素的二元运算。 推广到有个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为。 5．解：任取 ① 对于任意的都有，故二元运算*是可交换的。 若 ，，此时 故二元运算*是不可结合的。 不存在这样使得任意的都有， 因此，二元运算*不含幺元。 ② 对于任意的都有，故二元运算*是可交换的。 故二元运算*是不可结合的。 不存在这样使得任意的都有， 因此，二元运算*不含幺元。 ③ 因此，二元运算*是不可交换的。 故二元运算*是不可结合的。 由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样使得任意的都有， 因此，二元运算*不含幺元。 6．设是中的任意元素。 由于二元运算*是可结合的， 故 又对于任意的，若，则 故 即对于中的任意元素，都有， 所以中的 每一个元素都是等幂的。 6.2第137页 4． 证明： 首先，U和V都只含有一个二元运算，因此是同类型的； 第二，的定义域是自然数集合，值域是，是V定义域的子集。 第三，验证是否运算的像等于像的运算。 任取，分情况讨论： x和y都可以表示成，设， 那么， x和y都不能表示成，那么也不能表示成 , x可以表示成，y不能表示成，那么也不能表示成 , x不可以表示成，y能表示成，那么也不能表示成 , 可知，无论x和y如何取值，都能够保证。 综上所述，是U到V的同态映射。 5． 证明：设， 首先，U和V都仅有一个二元运算，因此U和V是同类型的； 第二，U和V的定义域大小相同，具备构成双射函数的条件； 第三，寻找特异元素，U中么元是a，右零元是c，三个元素都是等幂元；V中么元是3，右零元是1，三个元素都是等幂元。 第四，在U和V的定义域之间构造双射函数，使得。 把*运算表中的元素都用f下的像点代替，得 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 2 1 1 1 调整表头的顺序为1，2，3，转变为下表 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 跟V中运算表完全相同，因此代数系统和是同构的。 6.证明： (1) 两个代数系统都只存在一个二元运算，故满足同型。 (2) 构造函数，使得，显然是双射函数。 (3) 对于任意的 故 ，所以满足运算的像=像的运算。 由(1),(2),(3)可知，两代数系统是同构的。 7.解： 当时，零同态； 当时，恒等映射，自同态； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，自同构。 8.证明：的个复数根可表示成： (1) 与都含有一个二元运算，故为同型的。 (2) 与定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。 (3) 构造双射函数 对于任意的， 因此，。 由(1),(2),(3)可知，同构于。 9．证明： (1) 是代数系统到当的同态映射 又是的子代数 (2) 对于，必存在， 使得， 由于为代数系统到当的同态映射 ，又是的子代数 故对*运算封闭 ，即 对运算满足封闭性。 由(1),(2),(3)可知, 为的子代数。 6.3第141页 1．解： 解：首先，判断是否是等价关系。任取，由于，因此，是自反的；任取，若，即（），则，，因