2015年广西高二“创新杯”决赛试题-含答案-.pdf

2015 年广西“创新杯”数学竞赛高二决赛试卷 一．选择题 （每小题 6 分，共 36 分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择 题相应题号后面的括号内 1．（南宁市教科所黎福庆供题）已知向量a , b 夹角为 4 5 ， a = 1 且 2 a − b = 10 ，则 b = A ．3 2 B ． 6 C ．2 2 D ． 2 答案：A 2 π 2 ．3.若方程sin x + a sin x − a −1 = 0( ≤ x ≤ π ) 有三个根，则a 的取值范围为（ ） 6 答案：A 解析： 令t = sin x 则0 ≤ t ≤1, 方程为t2 + at − a − 1= 0 ⇒ (t −1)( t + a +1) = 0 ⇒ t =1, t= − a − 1 1 2 π π 即sin x = 1或sin =x − a −1, 而sin x = 1在[, ]π 上只有一根x = 6 2 π 1 3 故sin =x − a − 1在[, ]π 上有两根 ⇒ ≤ − a − 1 1⇒ −2 ≤a − 6 2 2 3 ．（广西师院赵继源供题）如图，已知正方体ABCD − A B C D 中，E 为CD 中点，则二面角 1 1 1 1 E − AB − B 的正切值为 1 2 A ．1 B ． C ． 2 D ．2 2 4 解析：选 D ．如图，作EF ⊥ AB 于F ，作FO ⊥ AB 于O ，连结OE ． 1 由ABCD − A B C D 为正方体，知EF ⊥ 面 ABB A ，EF ⊥ AB ． 1 1 1 1 1 1 1 又AB ⊥ OF ．因此，AB1 ⊥ 面OEF ，OE ⊥ AB ． 1 1 ∴ ∠EOF 为面角E − AB − B 的平面角． 1 1 2 设正方体棱长为a ，则EF = a ，OF =