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《复变函数》课程教案

§1.1复数及其代数运算

§1.2复数的几何表示

【章节名称】：§1.1-1.2复数及其代数运算复数的几何表示

【教学目的】：将数域范围扩展到复数域，在新数域下掌握对应的运算法则。

【教学要求】：（1）熟悉复数的概念；（2）掌握复数的四则运算及共轭运算；

（3）理解复数的几何表示及其应用。

【重点难点】：复数的运算和各种表示法

【学时分配】：2学时

【教学方法】：以课堂讲授为主，辅以课堂讨论和演练

【教学手段】：板书内容、黑板的利用、多媒体

【教学过程】：

§1.1复数及其代数运算

§1.2复数的几何表示

一．基本概念

1.复数域

（1）每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。

（2）复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。

（3）复数与实数的关系

如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。

（4）复数的四则运算定义为：

加减法：

注：在此处讲解虚数单位的性质及其应用。

（见多媒体课件）

（附页1）

注：实数与复数的关系的课堂练习见多媒体课件。（附页2）

乘法：

除法：

【例1】求复数的实部和虚部。

解：由于=。所以实部是1，虚部是-3。

【例2】当等于什么实数时，等式

成立。

解：按照乘法运算法则得：

由复数相等得：。

【例3】（见多媒体课件附页3）

【例4】（见多媒体课件附页4）

【例5】（见多媒体课件附页5）

【例6】（见多媒体课件附页6）

（5）复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C．

2.共轭复数

（1）定义：

（2）共轭复数的性质：

（见多媒体课件）

【例7】（见多媒体课件）

3.【课堂思考题】

复数为什么不能比较大小？

注：具体例题可利用多媒体讲解。

（见多媒体课件）

（附页3—附页6）

注：共轭性质证明以及例题。（见多媒体课件）

（附页7-8）

注：学生课堂讨论

（答案见附页9）

二.复平面

1.基本概念

（1）C也可以看成平面，我们称为复平面．

【分析】作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应．

（2）横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等．

（3）复数可以等同于平面中的向量，.向量的长度称为复数的模，定义为：；

（4）向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：

（）．

（5）辐角主值：（）

（6）当时，其辐角不确定。

【说明】复数的辐角计算很重要。在不同的象限有不同的计算公式，对后继学习复数的三角形式和指数形式是个基础，重点分析，重点演练。

2.复数的表示形式

（1）代数形式：

（2）三角形式：

（3）指数形式：

其中：，为的一个辐角（不一定是辐角主值）。

【补充】欧拉（Euler）公式

【例8】将下列复数化为三角表示式和指数形式.

（1）；（2）

注：对应关系见多媒体课件（附页10）

注：复数的辐角在不同的象限有不同的计算公式。

（见多媒体课件）

（附页11）

注：要求学生熟练掌握复数三种形式之间的转换。

注：见多媒体课件

（附页12-13）

3.【课堂练习】

P31第8题1-3

4.复数加减法的几何意义

（1）设,是两个复数，它们的加法,减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

【重点】两复数差的模的几何意义。

：代表点和点之间的距离

【例9】求下列方程所表示的曲线：

①；②.

（2）关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥．

注：学生课堂演练

注：见多媒体课件

（附页14）

注：见多媒体课件

（附页15-16）

注：给学生分析讲解这些不等式的几何意义。（见多媒体课件）

（附页17）

【作业布置】：P31.1.（3）

8.（4）（5）

11.

【参考书目】：

（1）《复变函数》钟玉泉编著高等教育出版社

（2）《复变函数与积分变换》华中科技大学数学系编高等教育出版社

（3）《复变函数导教·导学·导考》李建林编著