割平面法 运筹学整数规划.ppt

第一节 问题的提出 例子：某厂拟采用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表 问两种货物托运多少箱，可使获得利润为最大？ 第三章 整数规划（Integer Programming) 分类：1. 纯整数线性规划（Pure Integer Linear Programming） 2. 混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming） 3. 0-1型整数线性规划（Zero-One Integer Linear Programming） 分配问题与匈牙利法 21 分配问题与匈牙利法 48 21 答案： 解：设x1，x2分别表示两种货物托运的箱数，那么其线性规划为 可得最优解为x*=（5/3，8/3)T。 如果选用“向上凑整”的方法可得到x(1)=(2,3)T, 则此时已破坏了体积约束, 超出可行域的范围; 如果“舍去小数”可得x(2)=(1,2)T, 则此时虽是可行解, 值为10，不是最优解, 因为当x*=(2,2)T是, 其利润为14. 由于托运的箱数不能为分数，故上述规划问题是整数规划问题。 若不考虑整数约束，其相应的线性规划问题为： 第二节 分枝定界法(Branch and Bound method) 引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。 一、基本思想和算法依据 基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不符合整数条件，那么其目标函数的值就是整数规划问题最优值的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继续考虑其它分枝，直到最终求得最优的整数解。 算法的依据在于：“整数规划的最优解不会优于相应的线性规划问题的最优解”。具体说就是，对极大化问题，与整数规划问题相应的线性规划问题的目标函数值，是该整数规划问题目标函数的上界；任何满足整数条件的可行解的目标函数值将是其下界。 二、具体步骤（以例子说明） 解： 第一步：先不考虑整数约束条件，求解相应的线性规划问题，得最优解和最优值如下 x1=4.81, x2=1.82, Z=356 此解不满足整数解条件。定出整数规划问题目标函数的上下界。上界为 Z=356；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解，从而其整数规划问题目标函数的下界应为0，即 0? Z* ?356 9x1+7x2=56 7x1+20x2=70 Z=40x1+90x2 LP-1 LP-2 第二步：分枝与定界过程。 将其中一个非整数变量的解，比如x1, 进行分枝，即 x1? ? 4.81 ? =4, x1? ? 4.81 ?=5 并分别加入LP问题的约束条件中, 得两个子LP规划问题LP-1, LP-2, 分别求解此两个子线性规划问题, 其最优解分别是 LP-1: x1=4, x2=2.1, Z1=349 LP-2: x1=5, x2=1.57, Z2=341 没有得到全部决策变量均是整数的解。再次定出上下界 0 ?Z* ? 349 继续对问题LP-1，LP-2进行分枝。先对目标函数值大的子问题进行分枝，即分别将 x2 ? ? 2.1 ? =2, x2 ? ? 2.1 ? =3 加入到约束条件中去, 得子问题LP-3, LP-4, 分别求解得 LP-3: x1=4, x2=2, Z3=340 （是整数解，定下界） LP-4: x1=1.42, x2=3, Z4=327（剪掉） 问题LP-3的所有解均是整数解, 而问题LP-4还有非整数解, 但由于 Z3Z4, 对LP-4分枝已没有必要，剪掉。 上下界为 340? Z* ? 349 在对问题LP-2进行分枝, x2 ? ? 1.57 ? =1， x2 ? ? 1.57 ? =2, 得子问题LP-5, LP-6, 求解得 LP-5: x1=5.44, x2=1, Z5=308 (?下界340, 剪掉) LP-6: 无可行解（剪掉） 于是得到原整数规划问题的最优解为 LP: x1=4, x2=2, Z3=340 x1=4.81 LP: x2=1.