稳定性和代数稳定判据.ppt

关于稳定性和代数稳定判据第1页，共35页，星期日，2025年，2月5日**一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的充要条件和属性稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。第2页，共35页，星期日，2025年，2月5日**线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部，则系统的暂态分量随时间增加逐渐消失为零，这种系统是稳定的。如果有一个或一个以上的闭环特征根位于s平面右半部或虚轴上，则此系统是不稳定的。稳定的充要条件和属性稳定区不稳定区临界稳定S平面第3页，共35页，星期日，2025年，2月5日**充要条件说明如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定S平面第4页，共35页，星期日，2025年，2月5日**第5页，共35页，星期日，2025年，2月5日**充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。设线性系统的特征方程为则该系统稳定的必要条件为：

1、特征多项式所有的系数符号相同；

2、特征多项式所有系数都不为零。（无缺项）

如果系统的特征方程成不满足上述条件，则可立即断定系统是不稳定的。如果满足上述条件，系统不一定是稳定的，因为它只是必要条件。第6页，共35页，星期日，2025年，2月5日**但对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。第7页，共35页，星期日，2025年，2月5日**二、劳斯稳定性判据（一）劳斯判据设线性系统的特征方程为劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…项系数组成，第二行为2，4，6，…项系数组成。劳斯判据劳斯稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列各元素严格为正。反之，如果第一列出现小于或等于零的元素，系统不稳定，且第一列各元素符号的改变次数，代表特征方程正实部根的数目。第8页，共35页，星期日，2025年，2月5日**第9页，共35页，星期日，2025年，2月5日**例：系统特征方程为，试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，确定正实部根的个数。解：列劳斯表，即结论：系统是不稳定的，且第一列数字元素有两次变号，故系统有两个正实部的根。第10页，共35页，星期日，2025年，2月5日**例：系统特征方程为，试用劳斯判据判别系统是否稳定。解：列劳斯表，即结论：系统是不稳定的，且第一列数字元素有两次变号，故系统有两个正实部的根。为了简化计算，用某个正数去乘或除劳斯表中任意一行的系数，并不会改变系统稳定性的结论。第11页，共35页，星期日，2025年，2月5日**在运用劳斯判据判断判别系统稳定性时，有时会遇到两种特殊情况，这时必须进行一些相应的数学处理。（1）劳斯阵列某一行中的第一列数字元素等于零，而该行的其余各列元素不为