南昌大学数学物理方法期末考试试卷2009A卷答案.doc

南昌大学 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 参考答案及评分标准 试卷编号： 6031 (A)卷 课程编号： 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级 物理系07各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 累分人 签名 题分 36 40 24 100 得分 考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。3、请仔细阅读题前的说明。 一、填空题(每小题 3 分，共 36 分) 得分 评阅人 1.复数 。 2. -1/2 。 3. 复数。 4. 若解析函数的虚部， 则实部 。 5. 在可展开为洛朗级数： 6. 函数在的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 1/2 。 7. 设为整数,则 0 。 8. 函数 的傅里叶变换为。 9. 的拉普拉斯变换即。 10. 数学物理方程定解问题的适定性是指_解的存在性，唯一性，稳定性。 11. 一根两端(左端为坐标原点而右端）处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为 。 12. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。 （1）若函数在点解析，则函数在点可导。 （√） （2）是二阶线性齐次偏微分方程。 （×） （3）设为复数，则 （×） 二、求解题(每小题 10 分，共 40 分) 得分 评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。 1. 用留数定理计算复积分。 解： 回路内有两个一阶极点 （2分）其留数为 （2分）。 2. 用留数定理计算实积分 。 解： 设则 （2分） 于是， （2分） 的零点 其中只有为单位圆内一阶极点（2分）， 其留数为 （2分） 由留数定理得 （2分） 3. 解常微分方程初值问题 (可使用拉普拉斯变换或其它任何方法)。 解：对方程拉普拉斯变换得 （2分），于是 （2分） 4. 试判断偏微分方程类型并寻找自变量函数变换使方程能够化为标准形（注意：不必写出标准形）。解：特征方程（2分），判别式故方程为双曲型（2分）。特征方程的解为 （和为任意常数）（4分）。 所以，可化为标准形的自变量函数变换为 （2分）  三、偏微分方程求解题 (共24 分) 1. 求解波动方程满足 初始条件 的定解问题。 (本小题 10 分)解： 由达朗贝尔公式可得 2. (1) 已知矩形区域上的拉普拉斯方程 试导出其一般解为 ， 其中和是只与有关的系数。 (9分) (2) 利用(1)的结果求解泊松方程 提示：寻找泛定方程的一个特解使得经变换后所得的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分) (1) 证明： 设有试探解，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件 (1分) 求解本征值问题，得本征值 本征函数 (4分) 再解的微分方程得 (2分) 所以，一般解为 (1分) （2）解：特解 (1分) 变换使 (1分) 由（1）得满足的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为 (1分) 因为上述解还满足第二组边界条件，于是 即 (1分) 最后，得解 (1分) 第 2 页 共 5页