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2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题 一、填空题（每题10分，共80分） 1.已知关于的两个方程：……①，……②，其中.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数的值是_________。 【解析】-2 2.已知梯形中，则梯形的面积为______。 【解析】略 3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________. 【解析】 4.将8个数，-7、-5、-3、-2、2、4、6、13排列为,使得的值最小，则这个最小值为________. 【解析】 32,奇偶相同，可以取到34=. 5.已知正方形边长为4，分别在上，交于，则四边形的面积为。 【解析】【方法一】 【方法二】 6.在等腰直角三角形中，一点，使得，则边长为____________。 【解析】本题的两种方法在我的几何专题中应用多次 【方法一】绕C逆时针旋转 【方法二】坐标法（略） 7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手得分是_______。 【解析】最后五名选手得分之和为5的倍数，而第一名最多得18分，而最后五名选手之间要比赛10场，则得分总和最少为20分，易知第二名得分为16分. 8.已知都是素数（可以相同），并且是35个连续正整数之和，则的最小值为_________. 【解析】 二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分） 9.如图，矩形的对角线交于，已知的平分线与交于，直线相交于,直线交于。求证：. 【解析】不妨设 . 10.求所有正整数组 【解析】显然 当 综上所述，满足条件的正整数组为 11.①求证：存在整数 ②是否存在整数？请证明你的结论。 【解析】 【方法一】 ， 【方法二】显然 【方法三】 .【方法一】不可能为平方数，故原方程无整数解。 【方法二】原方程无整数解. 12.整数，它的所有不同的素因子为，存在正整数，使得。记，例如. ①找出一个正整数，使得； ②证明：存在无穷多个正整数，使得 【解析】送分 由已知 由于 综上所述，存在无穷多个正整数，使得