2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科 数学.docx
2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（z＋z）＝（）
A.10i B.2i
C.10 D.2
解析：A因为z＝5＋i，所以z＝5－i，所以i（z＋z）＝10i，故选A.
2.（2024·全国甲卷理2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜x∈A}，则?A（A∩B）＝（）
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
解析：DB＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则?A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D.
3.（2024·全国甲卷理3题）若x，y满足约束条件4x－3y－3≥0，x－
A.12 B.
C.－52 D.－
解析：D根据不等式组，画出可行域如图所示，作出直线x－5y＝0并平移，则当平移后的直线过点A时，z取得最小值，由4x－3y－3=0，2x+6y－9=0，得x＝32，y=1，所以A
4.（2024·全国甲卷理4题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）
A.72 B.
C.－13 D.－
解析：B由S5＝S10，得5（a1＋a5）2＝10（a1＋a10）2，所以5a3＝5（a3＋a8），所以a8＝0，公差d＝a8－a58－5＝－13，
5.（2024·全国甲卷理5题）已知双曲线的两个焦点分别为（0，4），（0，－4），点（－6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
A.4 B.3
C.2 D.2
解析：C法一（方程组法）根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0），则16a2－
法二（定义法）根据双曲线的定义，得2a＝｜(-6－0）2＋（4－4）2－(-6－0）2＋（4+4）2｜＝｜6
6.（2024·全国甲卷理6题）设函数f（x）＝ex+2sinx1+x2，则曲线y＝f（x）在点（0，
A.16 B.
C.12 D.
解析：Af（x）＝（ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx）·2x（1+x2）2，所以f（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，
7.（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（）
解析：B由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝－（－x）2＋（e－x－ex）sin（－x）＝－x2＋（ex－e－x）sinx＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f（1）＝－1＋（e－1e）sin1＞－1＋（e－1e）sinπ6＝－1＋e2－12e＞0，
8.（2024·全国甲卷理8题）已知cosαcosα－sinα＝3，则tan（α
A.23＋1 B.23－1
C.32 D.1－
解析：B根据题意有cosα－sinαcosα＝33，即1－tanα＝33，所以tanα＝1－33，所以tan（α＋π4）＝tanα
9.（2024·全国甲卷理9题）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝1＋3是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋3是a∥b的充分条件
解析：Ca⊥b?x2＋x＋2x＝0?x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b?2x＋2＝x2?x2－2x－2＝0?x＝1±3，故B、D错误.
10.（2024·全国甲卷理10题）设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m.下述四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β，则m∥n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是（）
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①③④
解析：Aα∩β＝m，则m?α，m?β，对于①，若m∥n，则n∥α或n∥β，①正确；对于②，若m⊥n，则可能n∥α或n与α相交，②错误；对于③，若n∥α且n∥β，则n∥m，③正确；对于④，n与m所成角可以为［0，π2］内的任意角，④错误，故选A
11.（2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝94ac，则sinA＋sinC＝（
A.32 B.
C.72 D.
解析：C由正弦定理得94sinAsinC＝sin2B，因为B＝60°，所以s