第七章 §7.7 向量法求空间角(一).docx
§7.7向量法求空间角(一)
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于()
A.40° B.50°
C.130° D.以上均错
2.(2024·呼和浩特模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，则直线PC与平面PBD所成角的余弦值为()
A.223 B.33 C.1
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1所成的角为45°时，点Q的轨迹为()
A.圆 B.直线 C.抛物线 D.椭圆
4.如图，在四棱锥A-BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE=3，AB=CB=AC=2DE=2，则异面直线DC与AE所成角的余弦值为()
A.13013 B.
C.1313 D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0，0)，B(1，2，-2)，C(0，0，-2)，则()
A.OC·AB=4
B.异面直线OC与AB所成角等于π
C.平面AOC的一个法向量可以是(0，1，0)
D.直线OB与平面AOC所成角的正弦值为2
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，M，N分别为PB，CD的中点，E为棱AD上一动点.若∠MEN为钝角，则AE的长可能为()
A.13 B.12 C.1 D
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·福州模拟)若异面直线l1，l2的方向向量分别是a=(0，-1，-2)，b=(4，0，2)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值为.?
8.(2025·张家口模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，经过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为n=(μ，v，ω)(μvω≠0)的直线l的方程为x-x0μ=y-y0v=z-z0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x+z-7=0，经过点(0，0，0)的直线l的方程为x
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·贵阳模拟)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=4，A1C1=B1C1=CC1=2.
(1)求异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值；(6分)
(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值.(7分)
10.(15分)(2025·咸阳模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，E为BB1的中点，直线B1C1与平面AD1E交于点F.
(1)证明：F为B1C1的中点；(6分)
(2)若直线AC与平面AD1E所成的角为π3，求AA1的长.(9分
每小题5分，共10分
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1(包括边界)上运动，满足AP⊥BD1.记直线C1P与平面ACB1所成的角为α，则sinα的最大值为()
A.33 B.24 C.6
12.(2024·重庆模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等，E，F分别是棱A1B1，CC1上的两个动点，且B1E=CF，则异面直线BE与AF所成角的余弦值的取值范围是.
答案精析
1.A[因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α的所成的角等于130°－90°＝40°.]
2.A[如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设AB＝1，
则B(1，0，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，
所以PB＝(1，0，－1)，PD＝(0，1，－1)，PC＝(1，1，－1)，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则PB
令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)，
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
sinθ＝|cos〈PC，n〉|＝|PC
又θ∈0，π2，所以cosθ＝
3.C[以点D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，设Q(x，y，1)，
可得DQ＝(x，y，1)，DA1＝(1，0，1
因为直线DQ与DA1所成的角为45°，
则cos45°＝|
＝x+1
化简可得y2＝2x，
所以点Q的轨迹为抛物线.]
4.A[如图所示，取BC的中点F，连接AF，DF，
可得DF∥BE，
因为BE⊥平面ABC，所以DF⊥平面ABC，
又由AB＝CB＝