数学竞赛初等数学解题技巧与训练集萃.docx
数学竞赛初等数学解题技巧与训练集萃
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1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。
2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。
一、代数基础
1.代数式计算
(1)简化下列代数式：
原式：$\frac{2a^23abb^2}{ab}$
解答：
解答思路：观察分子为二次三项式，利用分解因式方法进行简化。
答案：$\frac{2a^23abb^2}{ab}=a2b$
(2)计算：
原式：$\sqrt[3]{x^2}(2)^{1}3x^{\frac{4}{3}}$
解答：
解答思路：首先分别计算各个项的值，然后进行合并。
答案：$x^{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}3x^{\frac{4}{3}}=2x^{\frac{4}{3}}\frac{1}{2}$
2.方程求解
(1)求解下列一元二次方程：
方程：$2x^24x1=0$
解答：
解答思路：利用配方法或者求根公式求解。
答案：$x=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
(2)解下列分式方程：
方程：$\frac{2}{x1}\frac{1}{x2}=\frac{1}{x3}$
解答：
解答思路：先将分式方程转化为整式方程，再进行求解。
答案：$x=3$
3.不等式与不等式组
(1)解下列不等式：
不等式：$2x1\leq3$
解答：
解答思路：考虑绝对值不等式，转化为两个一次不等式。
答案：$\frac{1}{2}\leqx\leq2$
(2)解下列不等式组：
不等式组：
$\begin{cases}
x2y\geq3\\
3xy6
\end{cases}$
解答：
解答思路：首先将每个不等式转换为y的形式，然后解出不等式组。
答案：解集为平面上的区域。
4.函数的性质与应用
(1)判断下列函数的单调性：
函数：$f(x)=x^33x$
解答：
解答思路：求出函数的一阶导数，判断导数的符号。
答案：在$x\sqrt{3}$和$x\sqrt{3}$区间上函数单调递增。
(2)利用函数的图像，求出下列函数的最大值或最小值：
函数：$f(x)=32\sinx$
解答：
解答思路：函数图像是一个周期为$2\pi$的正弦函数图像，根据周期和幅值求解最大值或最小值。
答案：最大值为1，最小值为1。
5.指数与对数
(1)化简下列表达式：
表达式：$3^x\times3^{2x}\times3^5$
解答：
解答思路：利用指数幂的运算法则进行化简。
答案：$3^5$
(2)解下列对数方程：
方程：$\log_2(4x3)=2$
解答：
解答思路：利用对数的定义进行求解。
答案：$x=\frac{1}{4}$
6.数列的基本性质
(1)判断下列数列是否有界，有界请写出上下界：
数列：$\{x_n\}=n^2n$
解答：
解答思路：根据数列的通项公式进行判断。
答案：无界，上界为无穷大，下界为负无穷。
(2)求出下列数列的通项公式：
数列：$1,2,4,8,16,\dots$
解答：
解答思路：观察数列特点，找到数列的递推关系。
答案：$x_n=2^{n1}$
7.复数的基本运算
(1)计算下列复数的模：
复数：$z=23i$
解答：
解答思路：根据复数模的定义进行计算。
答案：$\leftz\right=\sqrt{2^23^2}=\sqrt{13}$
(2)求出下列复数的平方根：
复数：$w=1$
解答：
解答思路：利用复数平方根的定义进行求解。
答案：$\sqrt{w}=\pm10i$
答案及解题思路：
答案如上述解答内容所示。
解题思路在解答思路一栏中给出，请根据具体问题进行解题方法分析。
二、几何基础
1.点、线、面的位置关系
【题目1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，点B的坐标为(1,2)。求线段AB的长度。
【答案】AB的长度为5。
【解题思路】使用两点之间的距离公式：d=√[(x2x1)2(y2y1)2]，将点A和点B的坐标代入即可计算出AB的