第一章 培优点1 集合中的创新问题.docx
培优点1集合中的创新问题
分值：35分
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.(2025·深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M-N={x|x∈M且x?N}，已知集合A={2，3，5}，B={3，5，8}，则A-(A-B)的子集个数是()
A.2 B.4 C.8 D.16
2.(2024·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则()
A.M是规范数集，N不是规范数集
B.M是规范数集，N是规范数集
C.M不是规范数集，N是规范数集
D.M不是规范数集，N不是规范数集
二、多项选择题(每小题6分，共6分)
3.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①?∈F，②若A，B∈F，则A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.则下列说法正确的是()
A.若U={1，2，3，4，5，6}，则F={?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一个环
B.若U={a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C.若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈F
D.若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且［0，3］，［3，5］∈F
三、填空题(每小题5分，共5分)
4.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若N={2，3，6}，则?UN表示的6位字符串为；?
(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为.?
四、解答题(共14分)
5.(14分)已知集合Sn={1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于A，则称集合A是集合Sn的“期待子集”.
(1)判断集合A1={3，4，5}，A2={3，5，7}是否为集合S4的“期待子集”；(6分)
(2)如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①xyz，②x+yz，③x+y+z为偶数，那么称该集合具有性质P.对于集合Sn的非空子集A，证明：集合A是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P.(8分)
答案精析
1.B2.C
3.ABC[由题意知，①?∈F，②若A，B∈F，则A∩(?UB)∈F且A∪B∈F.
对于A，全集U={1，2，3，4，5，6}且F={?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}，
满足?∈F且当A，B∈F时，可得A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，所以A正确；
对于B，由{U的所有子集}={?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}共含8个元素，
若F是U的所有子集构成的集合，则集合F是U的一个环且有8个元素，所以B正确；
对于C，若{2}∈F，{3，5}∈F，可得{2}∪{3，5}={2，3，5}∈F，
所以F={?，{2}，{3，5}，{2，3，5}}是U的一个环，其中F中含有4个元素，所以C正确；
对于D，若[0，3]∈F，[3，5]∈F，
可得[0，3]∩(?R[3，5])=[0，3)∈F，[3，5]∩(?R[0，3])=(3，5]∈F，[3，5]∪[0，3]=[0，5]∈F，
[0，3]∩(?R[0，3))={3}∈F，[0，5]∩(?R{3})=[0，3)∪(3，5]∈F，且?∈F，
所以集合F中至少有8个元素，所以D错误.]
4.(1)100110(2)4
解析(1)因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，
所以?UN={1，4，5}，所以?UN表示的6位字符串为100110.
(2)因为集合A∪B表示的字符串为011011，
所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，
所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，
即满足条件的集合A的个数为4.
5.(1)解由题意知，S4={1，2，3，4，5，6，7，8}，
对于集合A1={3，4，5}，
令a+b
显然1∈S4，2∈S4，3∈S4，
所以A1是集合S4的“期待子集”；
对于集合A2={3，5，7}，
令a
则a1+b1+c1=152
因为a1，b1，c1∈S4，
即a1+b1+c1∈N*，故矛盾，
所以A2