2025届甘肃省兰州市永登县兰州新区舟曲中学高三下学期诊断考试数学试题.doc

2025届甘肃省兰州市永登县兰州新区舟曲中学高三下学期诊断考试数学试题

一、单选题

(★★★)

1.已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为

A．2

B．0

C．-2

D．-2

(★)2.已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知，则“存在使得”是“”的（）．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)4.已知向量，的夹角为，，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.设（，1），（x，），且，则向量与的夹角为（）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

(★★★)6.在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.若函数严格递增，则实数的取值范围是（）

A．,

B．,

C．

D．

(★★)8.在直三棱柱中，，已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若，则线段DF长度的取值范围为

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（）

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为

B．答对1题的概率为

C．答对2题的概率为

D．合格的概率为

(★★★)10.设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（）

A．在上有且仅有3个最大值点

B．在上有且仅有2个最小值点

C．在上单调递增

D．的取值范围是

(★★★★)11.（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（）

A．没有最大值也没有最小值

B．

C．

D．

三、填空题

(★★★)12.已知，则____．

(★★)13.若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是____．

(★★)14.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．

四、解答题

(★★★)15.在中，．

(1)求∠A；

(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上的高．

条件①：；

条件②：；

条件③：的面积为．

(★★★)16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，

(1)求证：平面；

(2)若，分别为棱，的中点，求证：∥平面；

(3)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．

(★★★)17.某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

(★★★★)18.已知椭圆，，是其左右焦点，直线过点交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上．

(1)若是上顶点，，求的值；

(2)若，求点的坐标；当原点到直线的距离为时，写出此时直线的方程．

(★★★★)19.已知函数（，），且对任意，都有.

（Ⅰ）用含的表达式表示；

（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断零点的