7.5　二面角与面面垂直.docx

一、单选题

1．已知不同的平面α，β和不重合的直线m，l，则下列命题正确的是()

A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β

B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β

C．若α⊥β，l?α，则l⊥β

D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β

答案D

解析对于A，若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l?β或l∥β或l与β相交，故选项A不正确；

对于B，若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，故选项B不正确；

对于C，若α⊥β，l?α，则l?β或l∥β或l与β相交，故选项C不正确；

对于D，若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知选项D正确．

2．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在()

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．△ABC内部

答案A

解析连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

3．(2025·湖南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－B1D1－A1的正切值为()

A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),2)

C．－eq\r(2) D．eq\r(2)

答案D

解析如图，设A1C1和B1D1相交于点O，连接AO.

因为六面体ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以A1C1⊥B1D1，AB1＝AD1.

因为O为B1D1的中点，所以AO⊥B1D1.

则∠AOA1为二面角A－B1D1－A1的平面角．

设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则AA1＝a，OA1＝eq\f(\r(2),2)a，

所以tan∠AOA1＝eq\f(AA1,OA1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).

4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为()

A．2eq\r(2) B．3eq\r(2)

C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)

答案C

解析如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，PO，PM?平面POM，所以DC⊥平面POM，又OM?平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA．在△PAC中，由余弦定理，得PA＝eq\r(PC2＋AC2－2PC·ACcos45°)＝eq\r(17)，所以PB＝eq\r(17).在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PCB＝eq\f(PC2＋BC2－BP2,2PC·BC)＝eq\f(1,3)，所以sin∠PCB＝eq\f(2\r(2),3)，所以S△PBC＝eq\f(1,2)PC·BCsin∠PCB＝4eq\r(2).

二、多选题

5．如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列结论正确的是()

A．平面ANS⊥平面PBC

B．平面ANS⊥平面PAB

C．平面PAB⊥平面PBC

D．平面ABC⊥平面PAC

答案ACD

解析因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC．

又AC为圆O的直径，所以AB⊥BC．

又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

因为AN?平面PAB，所以BC⊥AN.

又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，

所以AN⊥平面PBC．

因为AN?平面ANS，所以平面ANS⊥平面PBC，

所以A正确，C，D显然正确．

6．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O的大小为45°，则()

A．该圆锥的体积为π

B．该圆锥的侧面积为4eq\r(3)π

C．AC＝2eq\r(2)

D．△PAC的面积为eq\r(3)

答案AC

解析依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝eq\r(3)，

A选项，圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，B选项错误；

C选项，设D是AC的中点，连接