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重庆师范大学硕士学位论文摘要

Rogers–Ramanujan型连分数的构造方法

摘要

连分数是数论的重要研究对象,连分数的构造及其收敛性是连分数理论中的基本研

究内容.–连分数是连分数的–推广.Ramanujan连分数是一类重要的–连分数,它得

到了众多数学家的研究,并由此衍生出了各种各样的特殊形式,Rogers–Ramanujan连

分数就是其中之一.

本文将构造若干个类似于Rogers–Ramanujan连分数的–连分数,我们称这些连

分数为Rogers–Ramanujan型连分数.首先,我们定义两个级数()和(),构造一

组级数{}+∞和复数列{}+∞.如果它们满足递归关系=−(=

=−1=0+1−1

0,1,2,3···),那么可由此求出级数的一般形式和数列的通项公式,并由数学归

纳法给予证明.接着,使用求出的,和对应的递归关系构造出一些相应的新的

Rogers–Ramanujan型连分数()/().

此外,Oliver和Prodinger使用G¨ollnitz小分拆定理构造了一个连分数,我们发现他

们给出的{}+∞是错误的.在这里我们给出{}+∞的正确形式,并由此构造了一个

=−1=−1

新的–连分数.

关键词:Ramanujan’sNotebook;Rogers–Ramanujan型恒等式;Rogers–Ramanujan连

分数;数学归纳法;递归关系

I

重庆师范大学硕士学位论文ABSTRACT

ConstructionMethodofRogers–RamanujanType

ContinuedFraction

ABSTRACT

Continuedfractionisanimportantresearchobjectinnumbertheory,andthecon-

structionandconvergenceofcontinuedfractionisthebasicresearchcontentincontinued

fractiontheory.Ramanujancontinuedfractionisanimportantclassof–continuedfrac-

tions,whichhavebeenstudiedbymanymathematiciansandfromwhichvariousspecial

formshavebeenderived,includingRogers–Ramanujancontinuedfractions.

Inthisthesis,wewillconstructseveral–continuedfractionsimilartoRogers–

Ramanujancontinuedfraction,wecalltheseRogers–R