小专题6 平行四边形的证明思路 同步练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册.docx

小专题6平行四边形的证明思路

类型1已知(已证)四边形中边的关系

(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；

(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等.

1.(2023·宁夏)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.

2.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,连接BE,DF.若BE=DF,求证:四边形ABCD是平行四边形.

3.(2023·扬州节选)如图,E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点,连接AF,CE相交于点M,连接AG,CH相交于点N.求证：四边形AMCN是平行四边形.

4.如图,在?ABCD中,AE⊥BD于点E.老师给出了如下尺规作图步骤：

(1)以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BD于点M,N;

(2)分别以点M，N为圆心，大于12

(3)连接CP并延长,交BD于点F;

(4)连接CE,AF.

请根据以上步骤，证明：四边形AECF是平行四边形.

5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE,已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.求证:

(1)AC=EF.

(2)四边形ADFE是平行四边形.

类型2已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形

6.如图，将?ABCD的对角线BD向两个方向分别延长至点E和点F,使BE=DF.求证:AE∥CF,AE=CF.

7.如图,?ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线相交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.

8.如图,在?ABCD中,O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.求证:四边形EGFH是平行四边形.

小专题6平行四边形的证明思路

1.证明:∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°.又∵∠EDC=∠CBE,∴∠CBE+∠C=180°.∴EB∥DC.又∵DE∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形.

2.证明:在△AEB和△CFD中,{AE=CF,

3.证明:∵E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点,∴AH∥CF,AH=CF.∴四边形AFCH是平行四边形.∴AM∥CN.同理可得,四边形AECG是平行四边形.∴AN∥CM.∴四边形AMCN是平行四边形.

4.证明:由题意可知,CF⊥BD,∴∠CFD=∠CFE=90°.∵AE⊥BD,∴∠AEB=∠AED=90°.∴∠CFE=∠AEF=∠AEB=∠CFD=90°.∴AE∥CF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,

(ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(AA5).∴AE=CF.又∵

AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.

5.证明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC.又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF,AE=AB.∴AF=BC.在Rt△BCA和Rt△AFE中,{BA=AE,

6.证明:连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵BE=DF,∴BO+BE=DO+DF,即OE=OF.∴四边形AECF是平行四边形.∴AE∥CF,AE=CF.

7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,OA=OC,AB∥CD.∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO.在△FDO和△EBO中,

(∠EDO=∠EBO,∴△FDO≌△EBO(AAS).∴OF=OE.又∵

OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.

8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO.∵O为AC的中点,∴OA=OC.在△OAE和△OCF中,证,OG=OH.∴四边形EGFH是平行四边形.