圆锥曲线习题集.doc

圆锥曲线习题

1．(辽宁20)（本小题满分12分）

已知椭圆C经过点A,两个焦点为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值．并求出这个定值．

（1）解：由题意，可设椭圆方程为，

∵A在椭圆上，∴，解得，（舍去）

∴椭圆C的方程为----------------4分。

（2）设AE的方程为：，代入得：

，

设E，F，∵点A在椭圆上，∴，

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式以代，可得

∴直线EF的斜率，

即直线EF的斜率为定值。-------------------------12分

2．（本小题10分）如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

(I).求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

．解：（Ⅰ）设点的坐标为，点的坐标为，由，

解得，所以．

当且仅当时，取到最大值．

（Ⅱ）解：由得，

，①．②

设到的距离为，则，

又因为，所以，代入②式并整理，得

，解得，，代入①式检验，，

故直线的方程是

或或，或．

3．（本小题10分）已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－EQ\f(1,3).

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．

[解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝EQ\r(2).设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝2EQ\r(2)，∴a＞EQ\r(2)

由余弦定理有cos∠F1PF2＝EQ\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝EQ\f((|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝EQ\f(2a2－4,|PF1||PF2|)－1

∵|PF1||PF2|≤(EQ\f(|PF1|＋|PF2|,2))2＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2.

此时cos∠F1PF2取得最小值EQ\f(2a2－4,a2)－1，由题意EQ\f(2a2－4,a2)－1＝－EQ\f(1,3)，解得a2＝3，

①②∴P点的轨迹方程为EQ\f(x2,3)＋y2＝1.

①

②

(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0(*)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝EQ\f(x1＋x2,2)＝\f(－3km,1＋3k2)，y0＝kx0＋m＝\f(m,1＋3k2)

即Q(－EQ\f(3km,1＋3k2)，\f(m,1＋3k2)) ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，

∴klkAB＝k·EQ\f(\f(m,1＋3k2)＋1,－\f(3km,1＋3k2))＝－1，解得m＝EQ\f(1＋3k2,2)…③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，

即(6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0④，将③代入④

12[1＋3k2－(EQ\f(1＋3k2,2))2]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).

4．（本小题满分9分）已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上.若右焦点到直线的距离为3.

求椭圆的方程;

设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.

（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设

解得故所求椭圆的方程为.

………………3分.

（2）设P为弦MN的中点，由得

由于直线与椭圆有两个交点，即①………………5分

从而

又，则

即②…………7分

把②代入①得解得由②得解得.故所求m的取范围是（）……9分

5、（本小题满分10分）在椭圆＋=1内有一点M(4,－1),使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程。

答案：x－y－5=0

提示：设直线的斜率为k，则y＋1=k(x－4),与椭圆＋=1联立，

消去y得(1＋4k2)x2－(32k2＋8k)－40＝0，∴x1＋x2==8,解得k=1,

∴AB的方程是x－y－5=0

6、（